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Theorem isopolem 5489
Description: Lemma for isopo 5490. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
isopolem  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( S  Po  B  ->  R  Po  A
) )

Proof of Theorem isopolem
Dummy variables  a  b  c  d  e  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isof1o 5475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  H : A -1-1-onto-> B
)
2 f1of 5154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H : A
--> B )
3 ffvelrn 5328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H : A --> B  /\  d  e.  A )  ->  ( H `  d
)  e.  B )
43ex 112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H : A --> B  -> 
( d  e.  A  ->  ( H `  d
)  e.  B ) )
5 ffvelrn 5328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H : A --> B  /\  e  e.  A )  ->  ( H `  e
)  e.  B )
65ex 112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H : A --> B  -> 
( e  e.  A  ->  ( H `  e
)  e.  B ) )
7 ffvelrn 5328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H : A --> B  /\  f  e.  A )  ->  ( H `  f
)  e.  B )
87ex 112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H : A --> B  -> 
( f  e.  A  ->  ( H `  f
)  e.  B ) )
94, 6, 83anim123d 1225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H : A --> B  -> 
( ( d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )  ->  (
( H `  d
)  e.  B  /\  ( H `  e )  e.  B  /\  ( H `  f )  e.  B ) ) )
101, 2, 93syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( ( d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )  ->  (
( H `  d
)  e.  B  /\  ( H `  e )  e.  B  /\  ( H `  f )  e.  B ) ) )
1110imp 119 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( ( H `  d )  e.  B  /\  ( H `  e )  e.  B  /\  ( H `  f )  e.  B ) )
12 breq12 3797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  =  ( H `
 d )  /\  a  =  ( H `  d ) )  -> 
( a S a  <-> 
( H `  d
) S ( H `
 d ) ) )
1312anidms 383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( H `  d )  ->  (
a S a  <->  ( H `  d ) S ( H `  d ) ) )
1413notbid 602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( H `  d )  ->  ( -.  a S a  <->  -.  ( H `  d ) S ( H `  d ) ) )
15 breq1 3795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( H `  d )  ->  (
a S b  <->  ( H `  d ) S b ) )
1615anbi1d 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( H `  d )  ->  (
( a S b  /\  b S c )  <->  ( ( H `
 d ) S b  /\  b S c ) ) )
17 breq1 3795 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( H `  d )  ->  (
a S c  <->  ( H `  d ) S c ) )
1816, 17imbi12d 227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( H `  d )  ->  (
( ( a S b  /\  b S c )  ->  a S c )  <->  ( (
( H `  d
) S b  /\  b S c )  -> 
( H `  d
) S c ) ) )
1914, 18anbi12d 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( H `  d )  ->  (
( -.  a S a  /\  ( ( a S b  /\  b S c )  -> 
a S c ) )  <->  ( -.  ( H `  d ) S ( H `  d )  /\  (
( ( H `  d ) S b  /\  b S c )  ->  ( H `  d ) S c ) ) ) )
20 breq2 3796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( H `  e )  ->  (
( H `  d
) S b  <->  ( H `  d ) S ( H `  e ) ) )
21 breq1 3795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( H `  e )  ->  (
b S c  <->  ( H `  e ) S c ) )
2220, 21anbi12d 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  ( H `  e )  ->  (
( ( H `  d ) S b  /\  b S c )  <->  ( ( H `
 d ) S ( H `  e
)  /\  ( H `  e ) S c ) ) )
2322imbi1d 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( H `  e )  ->  (
( ( ( H `
 d ) S b  /\  b S c )  ->  ( H `  d ) S c )  <->  ( (
( H `  d
) S ( H `
 e )  /\  ( H `  e ) S c )  -> 
( H `  d
) S c ) ) )
2423anbi2d 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( H `  e )  ->  (
( -.  ( H `
 d ) S ( H `  d
)  /\  ( (
( H `  d
) S b  /\  b S c )  -> 
( H `  d
) S c ) )  <->  ( -.  ( H `  d ) S ( H `  d )  /\  (
( ( H `  d ) S ( H `  e )  /\  ( H `  e ) S c )  ->  ( H `  d ) S c ) ) ) )
25 breq2 3796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( H `  f )  ->  (
( H `  e
) S c  <->  ( H `  e ) S ( H `  f ) ) )
2625anbi2d 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( H `  f )  ->  (
( ( H `  d ) S ( H `  e )  /\  ( H `  e ) S c )  <->  ( ( H `
 d ) S ( H `  e
)  /\  ( H `  e ) S ( H `  f ) ) ) )
27 breq2 3796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( H `  f )  ->  (
( H `  d
) S c  <->  ( H `  d ) S ( H `  f ) ) )
2826, 27imbi12d 227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  ( H `  f )  ->  (
( ( ( H `
 d ) S ( H `  e
)  /\  ( H `  e ) S c )  ->  ( H `  d ) S c )  <->  ( ( ( H `  d ) S ( H `  e )  /\  ( H `  e ) S ( H `  f ) )  -> 
( H `  d
) S ( H `
 f ) ) ) )
2928anbi2d 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  ( H `  f )  ->  (
( -.  ( H `
 d ) S ( H `  d
)  /\  ( (
( H `  d
) S ( H `
 e )  /\  ( H `  e ) S c )  -> 
( H `  d
) S c ) )  <->  ( -.  ( H `  d ) S ( H `  d )  /\  (
( ( H `  d ) S ( H `  e )  /\  ( H `  e ) S ( H `  f ) )  ->  ( H `  d ) S ( H `  f ) ) ) ) )
3019, 24, 29rspc3v 2688 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( H `  d
)  e.  B  /\  ( H `  e )  e.  B  /\  ( H `  f )  e.  B )  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( -.  a S
a  /\  ( (
a S b  /\  b S c )  -> 
a S c ) )  ->  ( -.  ( H `  d ) S ( H `  d )  /\  (
( ( H `  d ) S ( H `  e )  /\  ( H `  e ) S ( H `  f ) )  ->  ( H `  d ) S ( H `  f ) ) ) ) )
3111, 30syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( -.  a S a  /\  ( ( a S b  /\  b S c )  ->  a S c ) )  ->  ( -.  ( H `  d ) S ( H `  d )  /\  (
( ( H `  d ) S ( H `  e )  /\  ( H `  e ) S ( H `  f ) )  ->  ( H `  d ) S ( H `  f ) ) ) ) )
32 simpl 106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  H  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
33 simpr1 921 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  d  e.  A )
34 isorel 5476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  d  e.  A )
)  ->  ( d R d  <->  ( H `  d ) S ( H `  d ) ) )
3532, 33, 33, 34syl12anc 1144 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( d R d  <->  ( H `  d ) S ( H `  d ) ) )
3635notbid 602 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( -.  d R d  <->  -.  ( H `  d ) S ( H `  d ) ) )
37 simpr2 922 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  e  e.  A )
38 isorel 5476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A )
)  ->  ( d R e  <->  ( H `  d ) S ( H `  e ) ) )
3932, 33, 37, 38syl12anc 1144 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( d R e  <->  ( H `  d ) S ( H `  e ) ) )
40 simpr3 923 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  f  e.  A )
41 isorel 5476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( e R f  <->  ( H `  e ) S ( H `  f ) ) )
4232, 37, 40, 41syl12anc 1144 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( e R f  <->  ( H `  e ) S ( H `  f ) ) )
4339, 42anbi12d 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( (
d R e  /\  e R f )  <->  ( ( H `  d ) S ( H `  e )  /\  ( H `  e ) S ( H `  f ) ) ) )
44 isorel 5476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( d R f  <->  ( H `  d ) S ( H `  f ) ) )
4532, 33, 40, 44syl12anc 1144 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( d R f  <->  ( H `  d ) S ( H `  f ) ) )
4643, 45imbi12d 227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( (
( d R e  /\  e R f )  ->  d R
f )  <->  ( (
( H `  d
) S ( H `
 e )  /\  ( H `  e ) S ( H `  f ) )  -> 
( H `  d
) S ( H `
 f ) ) ) )
4736, 46anbi12d 450 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( ( -.  d R d  /\  ( ( d R e  /\  e R f )  ->  d R f ) )  <-> 
( -.  ( H `
 d ) S ( H `  d
)  /\  ( (
( H `  d
) S ( H `
 e )  /\  ( H `  e ) S ( H `  f ) )  -> 
( H `  d
) S ( H `
 f ) ) ) ) )
4831, 47sylibrd 162 . . . . . . 7  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )
)  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( -.  a S a  /\  ( ( a S b  /\  b S c )  ->  a S c ) )  ->  ( -.  d R d  /\  (
( d R e  /\  e R f )  ->  d R
f ) ) ) )
4948ex 112 . . . . . 6  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( ( d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( -.  a S
a  /\  ( (
a S b  /\  b S c )  -> 
a S c ) )  ->  ( -.  d R d  /\  (
( d R e  /\  e R f )  ->  d R
f ) ) ) ) )
5049com23 76 . . . . 5  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( -.  a S a  /\  (
( a S b  /\  b S c )  ->  a S
c ) )  -> 
( ( d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A )  ->  ( -.  d R d  /\  ( ( d R e  /\  e R f )  ->  d R f ) ) ) ) )
5150imp31 247 . . . 4  |-  ( ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( -.  a S a  /\  ( ( a S b  /\  b S c )  ->  a S c ) ) )  /\  ( d  e.  A  /\  e  e.  A  /\  f  e.  A ) )  -> 
( -.  d R d  /\  ( ( d R e  /\  e R f )  -> 
d R f ) ) )
5251ralrimivvva 2419 . . 3  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( -.  a S a  /\  ( ( a S b  /\  b S c )  ->  a S c ) ) )  ->  A. d  e.  A  A. e  e.  A  A. f  e.  A  ( -.  d R d  /\  (
( d R e  /\  e R f )  ->  d R
f ) ) )
5352ex 112 . 2  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( -.  a S a  /\  (
( a S b  /\  b S c )  ->  a S
c ) )  ->  A. d  e.  A  A. e  e.  A  A. f  e.  A  ( -.  d R
d  /\  ( (
d R e  /\  e R f )  -> 
d R f ) ) ) )
54 df-po 4061 . 2  |-  ( S  Po  B  <->  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( -.  a S a  /\  (
( a S b  /\  b S c )  ->  a S
c ) ) )
55 df-po 4061 . 2  |-  ( R  Po  A  <->  A. d  e.  A  A. e  e.  A  A. f  e.  A  ( -.  d R d  /\  (
( d R e  /\  e R f )  ->  d R
f ) ) )
5653, 54, 553imtr4g 198 1  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( S  Po  B  ->  R  Po  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    /\ w3a 896    = wceq 1259    e. wcel 1409   A.wral 2323   class class class wbr 3792    Po wpo 4059   -->wf 4926   -1-1-onto->wf1o 4929   ` cfv 4930    Isom wiso 4931
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-sbc 2788  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-id 4058  df-po 4061  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-isom 4939
This theorem is referenced by:  isopo  5490  isosolem  5491
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