Theorem isores2 5504

Description: An isomorphism from one well-order to another can be restricted on either well-order. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
isores2	|- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> H Isom R , ( S i^i ( B X. B ) ) ( A , B ) )

Proof of Theorem isores2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1of 5177	. . . . . . . 8 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H : A --> B )
2		ffvelrn 5352	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A --> B /\ x e. A ) -> ( H ` x ) e. B )
3	2	adantrr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A --> B /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( H ` x ) e. B )
4		ffvelrn 5352	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A --> B /\ y e. A ) -> ( H ` y ) e. B )
5	4	adantrl 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A --> B /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( H ` y ) e. B )
6		brinxp 4454	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( H ` x ) e. B /\ ( H ` y ) e. B ) -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) )
7	3, 5, 6	syl2anc 403	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A --> B /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) )
8	1, 7	sylan 277	. . . . . . 7 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) )
9	8	anassrs 392	. . . . . 6 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) )
10	9	bibi2d 230	. . . . 5 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> ( x R y <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) ) )
11	10	ralbidva 2369	. . . 4 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ x e. A ) -> ( A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) ) )
12	11	ralbidva 2369	. . 3 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> ( A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) ) )
13	12	pm5.32i 442	. 2 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) ) )
14		df-isom 4961	. 2 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
15		df-isom 4961	. 2 |- ( H Isom R , ( S i^i ( B X. B ) ) ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) ( S i^i ( B X. B ) ) ( H ` y ) ) ) )
16	13, 14, 15	3bitr4i 210	1 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> H Isom R , ( S i^i ( B X. B ) ) ( A , B ) )

Syntax hints:   /\ wa 102   <-> wb 103   e. wcel 1434   A.wral 2353   i^i cin 2981   class class class wbr 3805   X. cxp 4389   -->wf 4948   -1-1-onto->wf1o 4951   ` cfv 4952   Isom wiso 4953

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-sbc 2825  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-isom 4961

This theorem is referenced by:  isores1  5505