Theorem iuncom4 3815

Description: Commutation of union with indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iuncom4	|- U_ x e. A U. B = U. U_ x e. A B

Proof of Theorem iuncom4

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2420	. . . . . . 7 |- ( E. z e. B y e. z <-> E. z ( z e. B /\ y e. z ) )
2	1	rexbii 2440	. . . . . 6 |- ( E. x e. A E. z e. B y e. z <-> E. x e. A E. z ( z e. B /\ y e. z ) )
3		rexcom4 2704	. . . . . 6 |- ( E. x e. A E. z ( z e. B /\ y e. z ) <-> E. z E. x e. A ( z e. B /\ y e. z ) )
4	2, 3	bitri 183	. . . . 5 |- ( E. x e. A E. z e. B y e. z <-> E. z E. x e. A ( z e. B /\ y e. z ) )
5		r19.41v 2585	. . . . . 6 |- ( E. x e. A ( z e. B /\ y e. z ) <-> ( E. x e. A z e. B /\ y e. z ) )
6	5	exbii 1584	. . . . 5 |- ( E. z E. x e. A ( z e. B /\ y e. z ) <-> E. z ( E. x e. A z e. B /\ y e. z ) )
7	4, 6	bitri 183	. . . 4 |- ( E. x e. A E. z e. B y e. z <-> E. z ( E. x e. A z e. B /\ y e. z ) )
8		eluni2 3735	. . . . 5 |- ( y e. U. B <-> E. z e. B y e. z )
9	8	rexbii 2440	. . . 4 |- ( E. x e. A y e. U. B <-> E. x e. A E. z e. B y e. z )
10		df-rex 2420	. . . . 5 |- ( E. z e. U_ x e. A B y e. z <-> E. z ( z e. U_ x e. A B /\ y e. z ) )
11		eliun 3812	. . . . . . 7 |- ( z e. U_ x e. A B <-> E. x e. A z e. B )
12	11	anbi1i 453	. . . . . 6 |- ( ( z e. U_ x e. A B /\ y e. z ) <-> ( E. x e. A z e. B /\ y e. z ) )
13	12	exbii 1584	. . . . 5 |- ( E. z ( z e. U_ x e. A B /\ y e. z ) <-> E. z ( E. x e. A z e. B /\ y e. z ) )
14	10, 13	bitri 183	. . . 4 |- ( E. z e. U_ x e. A B y e. z <-> E. z ( E. x e. A z e. B /\ y e. z ) )
15	7, 9, 14	3bitr4i 211	. . 3 |- ( E. x e. A y e. U. B <-> E. z e. U_ x e. A B y e. z )
16		eliun 3812	. . 3 |- ( y e. U_ x e. A U. B <-> E. x e. A y e. U. B )
17		eluni2 3735	. . 3 |- ( y e. U. U_ x e. A B <-> E. z e. U_ x e. A B y e. z )
18	15, 16, 17	3bitr4i 211	. 2 |- ( y e. U_ x e. A U. B <-> y e. U. U_ x e. A B )
19	18	eqriv 2134	1 |- U_ x e. A U. B = U. U_ x e. A B

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   E.wrex 2415   U.cuni 3731   U_ciun 3808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-uni 3732  df-iun 3810

This theorem is referenced by:  tgidm  12232