ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iunexg Unicode version

Theorem iunexg 5771
Description: The existence of an indexed union.  x is normally a free-variable parameter in  B. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
iunexg  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  B  e.  W )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  _V )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)    W( x)

Proof of Theorem iunexg
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfiun2g 3712 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  W  ->  U_ x  e.  A  B  =  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } )
21adantl 271 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  B  e.  W )  ->  U_ x  e.  A  B  =  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } )
3 abrexexg 5770 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  _V )
4 uniexg 4195 . . . 4  |-  ( { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  _V  ->  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  _V )
53, 4syl 14 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  U. {
y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  _V )
65adantr 270 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  B  e.  W )  ->  U. {
y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  _V )
72, 6eqeltrd 2156 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  B  e.  W )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   {cab 2068   A.wral 2349   E.wrex 2350   _Vcvv 2602   U.cuni 3603   U_ciun 3680
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3895  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-id 4050  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-f1 4931  df-fo 4932  df-f1o 4933  df-fv 4934
This theorem is referenced by:  abrexex2g  5772  opabex3d  5773  opabex3  5774  iunex  5775  xpexgALT  5785  mpt2exxg  5858  rdgtfr  6017  rdgruledefgg  6018  rdgivallem  6024
  Copyright terms: Public domain W3C validator