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Theorem iunpw 4239
Description: An indexed union of a power class in terms of the power class of the union of its index. Part of Exercise 24(b) of [Enderton] p. 33. (Contributed by NM, 29-Nov-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
iunpw.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
iunpw  |-  ( E. x  e.  A  x  =  U. A  <->  ~P U. A  =  U_ x  e.  A  ~P x )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem iunpw
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq2 2995 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U. A  -> 
( y  C_  x  <->  y 
C_  U. A ) )
21biimprcd 153 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  U. A  ->  (
x  =  U. A  ->  y  C_  x )
)
32reximdv 2437 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  U. A  ->  ( E. x  e.  A  x  =  U. A  ->  E. x  e.  A  y  C_  x ) )
43com12 30 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  x  =  U. A  -> 
( y  C_  U. A  ->  E. x  e.  A  y  C_  x ) )
5 ssiun 3727 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  y 
C_  x  ->  y  C_ 
U_ x  e.  A  x )
6 uniiun 3738 . . . . . 6  |-  U. A  =  U_ x  e.  A  x
75, 6syl6sseqr 3020 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  y 
C_  x  ->  y  C_ 
U. A )
84, 7impbid1 134 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  x  =  U. A  -> 
( y  C_  U. A  <->  E. x  e.  A  y 
C_  x ) )
9 vex 2577 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
109elpw 3393 . . . 4  |-  ( y  e.  ~P U. A  <->  y 
C_  U. A )
11 eliun 3689 . . . . 5  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  ~P x  <->  E. x  e.  A  y  e.  ~P x )
12 df-pw 3389 . . . . . . 7  |-  ~P x  =  { y  |  y 
C_  x }
1312abeq2i 2164 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~P x  <->  y  C_  x )
1413rexbii 2348 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  y  e.  ~P x  <->  E. x  e.  A  y  C_  x )
1511, 14bitri 177 . . . 4  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  ~P x  <->  E. x  e.  A  y  C_  x )
168, 10, 153bitr4g 216 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  x  =  U. A  -> 
( y  e.  ~P U. A  <->  y  e.  U_ x  e.  A  ~P x ) )
1716eqrdv 2054 . 2  |-  ( E. x  e.  A  x  =  U. A  ->  ~P U. A  =  U_ x  e.  A  ~P x )
18 ssid 2992 . . . . 5  |-  U. A  C_ 
U. A
19 iunpw.1 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
_V
2019uniex 4202 . . . . . . 7  |-  U. A  e.  _V
2120elpw 3393 . . . . . 6  |-  ( U. A  e.  ~P U. A  <->  U. A  C_  U. A )
22 eleq2 2117 . . . . . 6  |-  ( ~P
U. A  =  U_ x  e.  A  ~P x  ->  ( U. A  e.  ~P U. A  <->  U. A  e. 
U_ x  e.  A  ~P x ) )
2321, 22syl5bbr 187 . . . . 5  |-  ( ~P
U. A  =  U_ x  e.  A  ~P x  ->  ( U. A  C_ 
U. A  <->  U. A  e. 
U_ x  e.  A  ~P x ) )
2418, 23mpbii 140 . . . 4  |-  ( ~P
U. A  =  U_ x  e.  A  ~P x  ->  U. A  e.  U_ x  e.  A  ~P x )
25 eliun 3689 . . . 4  |-  ( U. A  e.  U_ x  e.  A  ~P x  <->  E. x  e.  A  U. A  e. 
~P x )
2624, 25sylib 131 . . 3  |-  ( ~P
U. A  =  U_ x  e.  A  ~P x  ->  E. x  e.  A  U. A  e.  ~P x )
27 elssuni 3636 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  x  C_ 
U. A )
28 elpwi 3396 . . . . . . 7  |-  ( U. A  e.  ~P x  ->  U. A  C_  x
)
2927, 28anim12i 325 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  U. A  e.  ~P x
)  ->  ( x  C_ 
U. A  /\  U. A  C_  x ) )
30 eqss 2988 . . . . . 6  |-  ( x  =  U. A  <->  ( x  C_ 
U. A  /\  U. A  C_  x ) )
3129, 30sylibr 141 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  U. A  e.  ~P x
)  ->  x  =  U. A )
3231ex 112 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  ( U. A  e.  ~P x  ->  x  =  U. A ) )
3332reximia 2431 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  U. A  e.  ~P x  ->  E. x  e.  A  x  =  U. A )
3426, 33syl 14 . 2  |-  ( ~P
U. A  =  U_ x  e.  A  ~P x  ->  E. x  e.  A  x  =  U. A )
3517, 34impbii 121 1  |-  ( E. x  e.  A  x  =  U. A  <->  ~P U. A  =  U_ x  e.  A  ~P x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 101    <-> wb 102    = wceq 1259    e. wcel 1409   E.wrex 2324   _Vcvv 2574    C_ wss 2945   ~Pcpw 3387   U.cuni 3608   U_ciun 3685
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-un 4198
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-uni 3609  df-iun 3687
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