Theorem iunrab 3860

Description: The indexed union of a restricted class abstraction. (Contributed by NM, 3-Jan-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
iunrab	|- U_ x e. A { y e. B | ph } = { y e. B | E. x e. A ph }

Distinct variable groups:   y, A   x, y   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)   B( y)

Proof of Theorem iunrab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunab 3859	. 2 |- U_ x e. A { y | ( y e. B /\ ph ) } = { y | E. x e. A ( y e. B /\ ph ) }
2		df-rab 2425	. . . 4 |- { y e. B | ph } = { y | ( y e. B /\ ph ) }
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( x e. A -> { y e. B | ph } = { y | ( y e. B /\ ph ) } )
4	3	iuneq2i 3831	. 2 |- U_ x e. A { y e. B | ph } = U_ x e. A { y | ( y e. B /\ ph ) }
5		df-rab 2425	. . 3 |- { y e. B | E. x e. A ph } = { y | ( y e. B /\ E. x e. A ph ) }
6		r19.42v 2588	. . . 4 |- ( E. x e. A ( y e. B /\ ph ) <-> ( y e. B /\ E. x e. A ph ) )
7	6	abbii 2255	. . 3 |- { y | E. x e. A ( y e. B /\ ph ) } = { y | ( y e. B /\ E. x e. A ph ) }
8	5, 7	eqtr4i 2163	. 2 |- { y e. B | E. x e. A ph } = { y | E. x e. A ( y e. B /\ ph ) }
9	1, 4, 8	3eqtr4i 2170	1 |- U_ x e. A { y e. B | ph } = { y e. B | E. x e. A ph }

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   {cab 2125   E.wrex 2417   {crab 2420   U_ciun 3813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-in 3077  df-ss 3084  df-iun 3815

This theorem is referenced by:  hashrabrex  11250