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Theorem iunun 3861
Description: Separate a union in an indexed union. (Contributed by NM, 27-Dec-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
iunun  |-  U_ x  e.  A  ( B  u.  C )  =  (
U_ x  e.  A  B  u.  U_ x  e.  A  C )

Proof of Theorem iunun
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.43 2566 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  ( y  e.  B  \/  y  e.  C )  <->  ( E. x  e.  A  y  e.  B  \/  E. x  e.  A  y  e.  C ) )
2 elun 3187 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( B  u.  C )  <->  ( y  e.  B  \/  y  e.  C ) )
32rexbii 2419 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  y  e.  ( B  u.  C )  <->  E. x  e.  A  ( y  e.  B  \/  y  e.  C ) )
4 eliun 3787 . . . . 5  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. x  e.  A  y  e.  B )
5 eliun 3787 . . . . 5  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  C  <->  E. x  e.  A  y  e.  C )
64, 5orbi12i 738 . . . 4  |-  ( ( y  e.  U_ x  e.  A  B  \/  y  e.  U_ x  e.  A  C )  <->  ( E. x  e.  A  y  e.  B  \/  E. x  e.  A  y  e.  C ) )
71, 3, 63bitr4i 211 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  y  e.  ( B  u.  C )  <->  ( y  e.  U_ x  e.  A  B  \/  y  e.  U_ x  e.  A  C
) )
8 eliun 3787 . . 3  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  ( B  u.  C )  <->  E. x  e.  A  y  e.  ( B  u.  C
) )
9 elun 3187 . . 3  |-  ( y  e.  ( U_ x  e.  A  B  u.  U_ x  e.  A  C
)  <->  ( y  e. 
U_ x  e.  A  B  \/  y  e.  U_ x  e.  A  C
) )
107, 8, 93bitr4i 211 . 2  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  ( B  u.  C )  <->  y  e.  ( U_ x  e.  A  B  u.  U_ x  e.  A  C ) )
1110eqriv 2114 1  |-  U_ x  e.  A  ( B  u.  C )  =  (
U_ x  e.  A  B  u.  U_ x  e.  A  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    \/ wo 682    = wceq 1316    e. wcel 1465   E.wrex 2394    u. cun 3039   U_ciun 3783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-un 3045  df-iun 3785
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