Theorem iunun 3775

Description: Separate a union in an indexed union. (Contributed by NM, 27-Dec-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
iunun	|- U_ x e. A ( B u. C ) = ( U_ x e. A B u. U_ x e. A C )

Proof of Theorem iunun

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.43 2517	. . . 4 |- ( E. x e. A ( y e. B \/ y e. C ) <-> ( E. x e. A y e. B \/ E. x e. A y e. C ) )
2		elun 3123	. . . . 5 |- ( y e. ( B u. C ) <-> ( y e. B \/ y e. C ) )
3	2	rexbii 2378	. . . 4 |- ( E. x e. A y e. ( B u. C ) <-> E. x e. A ( y e. B \/ y e. C ) )
4		eliun 3702	. . . . 5 |- ( y e. U_ x e. A B <-> E. x e. A y e. B )
5		eliun 3702	. . . . 5 |- ( y e. U_ x e. A C <-> E. x e. A y e. C )
6	4, 5	orbi12i 714	. . . 4 |- ( ( y e. U_ x e. A B \/ y e. U_ x e. A C ) <-> ( E. x e. A y e. B \/ E. x e. A y e. C ) )
7	1, 3, 6	3bitr4i 210	. . 3 |- ( E. x e. A y e. ( B u. C ) <-> ( y e. U_ x e. A B \/ y e. U_ x e. A C ) )
8		eliun 3702	. . 3 |- ( y e. U_ x e. A ( B u. C ) <-> E. x e. A y e. ( B u. C ) )
9		elun 3123	. . 3 |- ( y e. ( U_ x e. A B u. U_ x e. A C ) <-> ( y e. U_ x e. A B \/ y e. U_ x e. A C ) )
10	7, 8, 9	3bitr4i 210	. 2 |- ( y e. U_ x e. A ( B u. C ) <-> y e. ( U_ x e. A B u. U_ x e. A C ) )
11	10	eqriv 2080	1 |- U_ x e. A ( B u. C ) = ( U_ x e. A B u. U_ x e. A C )

Syntax hints:   \/ wo 662   = wceq 1285   e. wcel 1434   E.wrex 2354   u. cun 2980   U_ciun 3698

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-un 2986  df-iun 3700

This theorem is referenced by: (None)