ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iunxpf Unicode version

Theorem iunxpf 4512
Description: Indexed union on a cross product is equals a double indexed union. The hypothesis specifies an implicit substitution. (Contributed by NM, 19-Dec-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
iunxpf.1  |-  F/_ y C
iunxpf.2  |-  F/_ z C
iunxpf.3  |-  F/_ x D
iunxpf.4  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  C  =  D )
Assertion
Ref Expression
iunxpf  |-  U_ x  e.  ( A  X.  B
) C  =  U_ y  e.  A  U_ z  e.  B  D
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, z, B, y
Allowed substitution hints:    A( z)    C( x, y, z)    D( x, y, z)

Proof of Theorem iunxpf
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunxpf.1 . . . . 5  |-  F/_ y C
21nfcri 2188 . . . 4  |-  F/ y  w  e.  C
3 iunxpf.2 . . . . 5  |-  F/_ z C
43nfcri 2188 . . . 4  |-  F/ z  w  e.  C
5 iunxpf.3 . . . . 5  |-  F/_ x D
65nfcri 2188 . . . 4  |-  F/ x  w  e.  D
7 iunxpf.4 . . . . 5  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  C  =  D )
87eleq2d 2123 . . . 4  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( w  e.  C  <->  w  e.  D
) )
92, 4, 6, 8rexxpf 4511 . . 3  |-  ( E. x  e.  ( A  X.  B ) w  e.  C  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  w  e.  D )
10 eliun 3689 . . 3  |-  ( w  e.  U_ x  e.  ( A  X.  B
) C  <->  E. x  e.  ( A  X.  B
) w  e.  C
)
11 eliun 3689 . . . 4  |-  ( w  e.  U_ y  e.  A  U_ z  e.  B  D  <->  E. y  e.  A  w  e.  U_ z  e.  B  D
)
12 eliun 3689 . . . . 5  |-  ( w  e.  U_ z  e.  B  D  <->  E. z  e.  B  w  e.  D )
1312rexbii 2348 . . . 4  |-  ( E. y  e.  A  w  e.  U_ z  e.  B  D  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  w  e.  D )
1411, 13bitri 177 . . 3  |-  ( w  e.  U_ y  e.  A  U_ z  e.  B  D  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  w  e.  D )
159, 10, 143bitr4i 205 . 2  |-  ( w  e.  U_ x  e.  ( A  X.  B
) C  <->  w  e.  U_ y  e.  A  U_ z  e.  B  D
)
1615eqriv 2053 1  |-  U_ x  e.  ( A  X.  B
) C  =  U_ y  e.  A  U_ z  e.  B  D
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1259    e. wcel 1409   F/_wnfc 2181   E.wrex 2324   <.cop 3406   U_ciun 3685    X. cxp 4371
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-iun 3687  df-opab 3847  df-xp 4379  df-rel 4380
This theorem is referenced by:  dfmpt2  5872
  Copyright terms: Public domain W3C validator