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Theorem lble 8144
Description: If a set of reals contains a lower bound, the lower bound is less than or equal to all members of the set. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
lble  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A  e.  S )  ->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  A
)
Distinct variable groups:    x, y, S   
y, A
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem lble
StepHypRef Expression
1 lbreu 8142 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  E! x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )
2 nfcv 2223 . . . . . . 7  |-  F/_ x S
3 nfriota1 5526 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )
4 nfcv 2223 . . . . . . . 8  |-  F/_ x  <_
5 nfcv 2223 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
y
63, 4, 5nfbr 3849 . . . . . . 7  |-  F/ x
( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_ 
y
72, 6nfralxy 2407 . . . . . 6  |-  F/ x A. y  e.  S  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_ 
y
8 eqid 2083 . . . . . 6  |-  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  =  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )
9 nfra1 2402 . . . . . . . . 9  |-  F/ y A. y  e.  S  x  <_  y
10 nfcv 2223 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y S
119, 10nfriota 5528 . . . . . . . 8  |-  F/_ y
( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )
1211nfeq2 2234 . . . . . . 7  |-  F/ y  x  =  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )
13 breq1 3808 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y
)  ->  ( x  <_  y  <->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y
)  <_  y )
)
1412, 13ralbid 2371 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y
)  ->  ( A. y  e.  S  x  <_  y  <->  A. y  e.  S  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_ 
y ) )
157, 8, 14riotaprop 5542 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  ->  ( ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_ 
y ) )
161, 15syl 14 . . . 4  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  (
( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  y )
)
1716simprd 112 . . 3  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  A. y  e.  S  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  y )
18 nfcv 2223 . . . . 5  |-  F/_ y  <_
19 nfcv 2223 . . . . 5  |-  F/_ y A
2011, 18, 19nfbr 3849 . . . 4  |-  F/ y ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  A
21 breq2 3809 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  (
( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_ 
y  <->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y
)  <_  A )
)
2220, 21rspc 2704 . . 3  |-  ( A  e.  S  ->  ( A. y  e.  S  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_ 
y  ->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  A )
)
2317, 22mpan9 275 . 2  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  A  e.  S )  ->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  A )
24233impa 1134 1  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A  e.  S )  ->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2353   E.wrex 2354   E!wreu 2355    C_ wss 2982   class class class wbr 3805   iota_crio 5518   RRcr 7094    <_ cle 7268
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-apti 7205
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-xp 4397  df-cnv 4399  df-iota 4917  df-riota 5519  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273
This theorem is referenced by:  lbinf  8145  lbinfle  8147
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