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Theorem lble 8673
Description: If a set of reals contains a lower bound, the lower bound is less than or equal to all members of the set. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
lble  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A  e.  S )  ->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  A
)
Distinct variable groups:    x, y, S   
y, A
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem lble
StepHypRef Expression
1 lbreu 8671 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  E! x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )
2 nfcv 2258 . . . . . . 7  |-  F/_ x S
3 nfriota1 5705 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )
4 nfcv 2258 . . . . . . . 8  |-  F/_ x  <_
5 nfcv 2258 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
y
63, 4, 5nfbr 3944 . . . . . . 7  |-  F/ x
( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_ 
y
72, 6nfralxy 2448 . . . . . 6  |-  F/ x A. y  e.  S  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_ 
y
8 eqid 2117 . . . . . 6  |-  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  =  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )
9 nfra1 2443 . . . . . . . . 9  |-  F/ y A. y  e.  S  x  <_  y
10 nfcv 2258 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y S
119, 10nfriota 5707 . . . . . . . 8  |-  F/_ y
( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )
1211nfeq2 2270 . . . . . . 7  |-  F/ y  x  =  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )
13 breq1 3902 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y
)  ->  ( x  <_  y  <->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y
)  <_  y )
)
1412, 13ralbid 2412 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y
)  ->  ( A. y  e.  S  x  <_  y  <->  A. y  e.  S  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_ 
y ) )
157, 8, 14riotaprop 5721 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  ->  ( ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_ 
y ) )
161, 15syl 14 . . . 4  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  (
( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  y )
)
1716simprd 113 . . 3  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  ->  A. y  e.  S  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  y )
18 nfcv 2258 . . . . 5  |-  F/_ y  <_
19 nfcv 2258 . . . . 5  |-  F/_ y A
2011, 18, 19nfbr 3944 . . . 4  |-  F/ y ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  A
21 breq2 3903 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  (
( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_ 
y  <->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y
)  <_  A )
)
2220, 21rspc 2757 . . 3  |-  ( A  e.  S  ->  ( A. y  e.  S  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_ 
y  ->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  A )
)
2317, 22mpan9 279 . 2  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\ 
E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  /\  A  e.  S )  ->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  A )
24233impa 1161 1  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A  e.  S )  ->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 947    = wceq 1316    e. wcel 1465   A.wral 2393   E.wrex 2394   E!wreu 2395    C_ wss 3041   class class class wbr 3899   iota_crio 5697   RRcr 7587    <_ cle 7769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-apti 7703
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-xp 4515  df-cnv 4517  df-iota 5058  df-riota 5698  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774
This theorem is referenced by:  lbinf  8674  lbinfle  8676
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