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Theorem lbzbi 8648
Description: If a set of reals is bounded below, it is bounded below by an integer. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
lbzbi  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y  <->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
Distinct variable group:    x, A, y

Proof of Theorem lbzbi
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1437 . . 3  |-  F/ x  A  C_  RR
2 nfre1 2382 . . 3  |-  F/ x E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
3 btwnz 8416 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  ( E. z  e.  ZZ  z  <  x  /\  E. z  e.  ZZ  x  <  z ) )
43simpld 109 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  E. z  e.  ZZ  z  <  x
)
5 ssel2 2968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR )
6 zre 8306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  RR )
7 ltleletr 7159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( z  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  <  x  /\  x  <_  y )  ->  z  <_  y
) )
86, 7syl3an1 1179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  <  x  /\  x  <_  y )  ->  z  <_  y
) )
98expd 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  <  x  ->  ( x  <_  y  ->  z  <_  y ) ) )
1093expia 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  e.  RR  ->  ( z  <  x  ->  ( x  <_  y  ->  z  <_  y )
) ) )
115, 10syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  A
)  ->  ( z  <  x  ->  ( x  <_  y  ->  z  <_  y ) ) ) )
1211expdimp 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  /\  A  C_  RR )  ->  ( y  e.  A  ->  ( z  <  x  ->  ( x  <_  y  ->  z  <_  y ) ) ) )
1312com23 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  /\  A  C_  RR )  ->  ( z  < 
x  ->  ( y  e.  A  ->  ( x  <_  y  ->  z  <_  y ) ) ) )
1413imp 119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  /\  A  C_  RR )  /\  z  <  x )  ->  (
y  e.  A  -> 
( x  <_  y  ->  z  <_  y )
) )
1514ralrimiv 2408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  /\  A  C_  RR )  /\  z  <  x )  ->  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  z  <_  y ) )
16 ralim 2397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  z  <_  y )  -> 
( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. y  e.  A  z  <_  y ) )
1715, 16syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  /\  A  C_  RR )  /\  z  <  x )  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. y  e.  A  z  <_  y ) )
1817ex 112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  /\  A  C_  RR )  ->  ( z  < 
x  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. y  e.  A  z  <_  y ) ) )
1918anasss 385 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )
)  ->  ( z  <  x  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. y  e.  A  z  <_  y ) ) )
2019expcom 113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( z  e.  ZZ  ->  ( z  <  x  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. y  e.  A  z  <_  y ) ) ) )
2120com23 76 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( z  <  x  ->  ( z  e.  ZZ  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. y  e.  A  z  <_  y ) ) ) )
2221imp 119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  /\  z  <  x )  ->  ( z  e.  ZZ  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. y  e.  A  z  <_  y ) ) )
2322imdistand 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  /\  z  <  x )  ->  ( ( z  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  (
z  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  z  <_  y ) ) )
24 breq1 3795 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  (
x  <_  y  <->  z  <_  y ) )
2524ralbidv 2343 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  <->  A. y  e.  A  z  <_  y ) )
2625rspcev 2673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  z  <_  y )  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y )
2723, 26syl6 33 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  /\  z  <  x )  ->  ( ( z  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
) )
2827ex 112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( z  <  x  ->  ( ( z  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
) ) )
2928com23 76 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( ( z  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  ( z  <  x  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
) ) )
3029ancomsd 260 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( ( A. y  e.  A  x  <_  y  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  < 
x  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
) ) )
3130expdimp 250 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  -> 
( z  e.  ZZ  ->  ( z  <  x  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y ) ) )
3231rexlimdv 2449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  -> 
( E. z  e.  ZZ  z  <  x  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
3332anasss 385 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( A  C_  RR  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  ( E. z  e.  ZZ  z  <  x  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
3433expcom 113 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  (
x  e.  RR  ->  ( E. z  e.  ZZ  z  <  x  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
) ) )
354, 34mpdi 42 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  (
x  e.  RR  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
3635ex 112 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  ( x  e.  RR  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
) ) )
3736com23 76 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( x  e.  RR  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
) ) )
381, 2, 37rexlimd 2447 . 2  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
) )
39 zssre 8309 . . 3  |-  ZZ  C_  RR
40 ssrexv 3033 . . 3  |-  ( ZZ  C_  RR  ->  ( E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
4139, 40ax-mp 7 . 2  |-  ( E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)
4238, 41impbid1 134 1  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y  <->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    /\ w3a 896    e. wcel 1409   A.wral 2323   E.wrex 2324    C_ wss 2945   class class class wbr 3792   RRcr 6946    < clt 7119    <_ cle 7120   ZZcz 8302
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-addcom 7042  ax-addass 7044  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-ltadd 7058  ax-arch 7061
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-inn 7991  df-z 8303
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