Theorem lcmcl 11753

Description: Closure of the lcm operator. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmcl	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M lcm N ) e. NN0 )

Proof of Theorem lcmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmcom 11745	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M lcm N ) = ( N lcm M ) )
2	1	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M = 0 ) -> ( M lcm N ) = ( N lcm M ) )
3		oveq2 5782	. . . . . . 7 |- ( M = 0 -> ( N lcm M ) = ( N lcm 0 ) )
4		lcm0val 11746	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( N lcm 0 ) = 0 )
5	3, 4	sylan9eqr 2194	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M = 0 ) -> ( N lcm M ) = 0 )
6	5	adantll 467	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M = 0 ) -> ( N lcm M ) = 0 )
7	2, 6	eqtrd 2172	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M = 0 ) -> ( M lcm N ) = 0 )
8		oveq2 5782	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( M lcm N ) = ( M lcm 0 ) )
9		lcm0val 11746	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( M lcm 0 ) = 0 )
10	8, 9	sylan9eqr 2194	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N = 0 ) -> ( M lcm N ) = 0 )
11	10	adantlr 468	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> ( M lcm N ) = 0 )
12	7, 11	jaodan 786	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M = 0 \/ N = 0 ) ) -> ( M lcm N ) = 0 )
13		0nn0 8992	. . 3 |- 0 e. NN0
14	12, 13	eqeltrdi 2230	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M = 0 \/ N = 0 ) ) -> ( M lcm N ) e. NN0 )
15		lcmn0cl 11749	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. ( M = 0 \/ N = 0 ) ) -> ( M lcm N ) e. NN )
16	15	nnnn0d 9030	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. ( M = 0 \/ N = 0 ) ) -> ( M lcm N ) e. NN0 )
17		lcmmndc 11743	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID ( M = 0 \/ N = 0 ) )
18		exmiddc 821	. . 3 |- (DECID ( M = 0 \/ N = 0 ) -> ( ( M = 0 \/ N = 0 ) \/ -. ( M = 0 \/ N = 0 ) ) )
19	17, 18	syl 14	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M = 0 \/ N = 0 ) \/ -. ( M = 0 \/ N = 0 ) ) )
20	14, 16, 19	mpjaodan 787	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M lcm N ) e. NN0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 697  DECID wdc 819   = wceq 1331   e. wcel 1480  (class class class)co 5774   0cc0 7620   NN0cn0 8977   ZZcz 9054   lcm clcm 11741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-fl 10043  df-mod 10096  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-dvds 11494  df-lcm 11742

This theorem is referenced by:  gcddvdslcm  11754  lcmneg  11755  lcmdvds  11760  lcmid  11761  lcm1  11762  lcmgcdeq  11764  lcmdvdsb  11765  lcmass  11766  3lcm2e6woprm  11767  6lcm4e12  11768  3lcm2e6  11838