Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lcmgcdeq Unicode version

Theorem lcmgcdeq 10672
 Description: Two integers' absolute values are equal iff their least common multiple and greatest common divisor are equal. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmgcdeq lcm

Proof of Theorem lcmgcdeq
StepHypRef Expression
1 dvdslcm 10658 . . . . . . 7 lcm lcm
21simpld 110 . . . . . 6 lcm
32adantr 270 . . . . 5 lcm lcm
4 gcddvds 10562 . . . . . . . 8
54simprd 112 . . . . . . 7
6 breq1 3808 . . . . . . 7 lcm lcm
75, 6syl5ibrcom 155 . . . . . 6 lcm lcm
87imp 122 . . . . 5 lcm lcm
9 lcmcl 10661 . . . . . . . . . . 11 lcm
109nn0zd 8600 . . . . . . . . . 10 lcm
11 dvdstr 10440 . . . . . . . . . 10 lcm lcm lcm
1210, 11syl3an2 1204 . . . . . . . . 9 lcm lcm
13123com12 1143 . . . . . . . 8 lcm lcm
14133expb 1140 . . . . . . 7 lcm lcm
1514anidms 389 . . . . . 6 lcm lcm
1615adantr 270 . . . . 5 lcm lcm lcm
173, 8, 16mp2and 424 . . . 4 lcm
18 absdvdsb 10421 . . . . . 6
19 zabscl 10173 . . . . . . 7
20 dvdsabsb 10422 . . . . . . 7
2119, 20sylan 277 . . . . . 6
2218, 21bitrd 186 . . . . 5
2322adantr 270 . . . 4 lcm
2417, 23mpbid 145 . . 3 lcm
251simprd 112 . . . . . 6 lcm
2625adantr 270 . . . . 5 lcm lcm
274simpld 110 . . . . . . 7
28 breq1 3808 . . . . . . 7 lcm lcm
2927, 28syl5ibrcom 155 . . . . . 6 lcm lcm
3029imp 122 . . . . 5 lcm lcm
31 dvdstr 10440 . . . . . . . . . 10 lcm lcm lcm
3210, 31syl3an2 1204 . . . . . . . . 9 lcm lcm
33323coml 1146 . . . . . . . 8 lcm lcm
34333expb 1140 . . . . . . 7 lcm lcm
3534anidms 389 . . . . . 6 lcm lcm
3635adantr 270 . . . . 5 lcm lcm lcm
3726, 30, 36mp2and 424 . . . 4 lcm
38 absdvdsb 10421 . . . . . . 7
39 zabscl 10173 . . . . . . . 8
40 dvdsabsb 10422 . . . . . . . 8
4139, 40sylan 277 . . . . . . 7
4238, 41bitrd 186 . . . . . 6
4342ancoms 264 . . . . 5
4443adantr 270 . . . 4 lcm
4537, 44mpbid 145 . . 3 lcm
46 nn0abscl 10172 . . . . . . 7
47 nn0abscl 10172 . . . . . . 7
4846, 47anim12i 331 . . . . . 6
49 dvdseq 10456 . . . . . 6
5048, 49sylan 277 . . . . 5
5150ex 113 . . . 4
5251adantr 270 . . 3 lcm
5324, 45, 52mp2and 424 . 2 lcm
54 lcmid 10669 . . . . . . . 8 lcm
5519, 54syl 14 . . . . . . 7 lcm
56 gcdid 10584 . . . . . . . 8
5719, 56syl 14 . . . . . . 7
5855, 57eqtr4d 2118 . . . . . 6 lcm
59 oveq2 5571 . . . . . . 7 lcm lcm
60 oveq2 5571 . . . . . . 7
6159, 60eqeq12d 2097 . . . . . 6 lcm lcm
6258, 61syl5ibcom 153 . . . . 5 lcm
6362imp 122 . . . 4 lcm
6463adantlr 461 . . 3 lcm
65 lcmabs 10665 . . . . 5 lcm lcm
66 gcdabs 10586 . . . . 5
6765, 66eqeq12d 2097 . . . 4 lcm lcm
6867adantr 270 . . 3 lcm lcm
6964, 68mpbid 145 . 2 lcm
7053, 69impbida 561 1 lcm
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 102   wb 103   wceq 1285   wcel 1434   class class class wbr 3805  cfv 4952  (class class class)co 5563  cn0 8407  cz 8484  cabs 10084   cdvds 10403   cgcd 10545   lcm clcm 10649 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208  ax-arch 7209  ax-caucvg 7210 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-isom 4961  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-sup 6491  df-inf 6492  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-2 8217  df-3 8218  df-4 8219  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-q 8838  df-rp 8868  df-fz 9158  df-fzo 9282  df-fl 9404  df-mod 9457  df-iseq 9574  df-iexp 9625  df-cj 9930  df-re 9931  df-im 9932  df-rsqrt 10085  df-abs 10086  df-dvds 10404  df-gcd 10546  df-lcm 10650 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator