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Theorem lcmgcdlem 10666
Description: Lemma for lcmgcd 10667 and lcmdvds 10668. Prove them for positive  M,  N, and  K. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmgcdlem  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M lcm 
N )  x.  ( M  gcd  N ) )  =  ( abs `  ( M  x.  N )
)  /\  ( ( K  e.  NN  /\  ( M  ||  K  /\  N  ||  K ) )  -> 
( M lcm  N ) 
||  K ) ) )

Proof of Theorem lcmgcdlem
Dummy variables  n  f  g  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnmulcl 8179 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  x.  N
)  e.  NN )
21nnred 8171 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  x.  N
)  e.  RR )
3 nnz 8503 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
43adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  ZZ )
54zred 8602 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  RR )
6 nnz 8503 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
76adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
87zred 8602 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
9 0red 7234 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  0  e.  RR )
10 nnre 8165 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
11 nngt0 8183 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  0  <  M )
129, 10, 11ltled 7347 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  0  <_  M )
1312adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  M )
14 0red 7234 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  RR )
15 nnre 8165 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
16 nngt0 8183 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
1714, 15, 16ltled 7347 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  N )
1817adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  N )
195, 8, 13, 18mulge0d 7840 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( M  x.  N ) )
202, 19absidd 10254 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( abs `  ( M  x.  N )
)  =  ( M  x.  N ) )
213, 6anim12i 331 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
22 nnne0 8186 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  M  =/=  0 )
2322neneqd 2270 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  -.  M  =  0 )
24 nnne0 8186 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
2524neneqd 2270 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  -.  N  =  0 )
2623, 25anim12i 331 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( -.  M  =  0  /\  -.  N  =  0 ) )
27 ioran 702 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( M  =  0  \/  N  =  0 )  <->  ( -.  M  =  0  /\  -.  N  =  0 ) )
2826, 27sylibr 132 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  -.  ( M  =  0  \/  N  =  0 ) )
29 lcmn0val 10655 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  ( M  =  0  \/  N  =  0 ) )  ->  ( M lcm  N
)  = inf ( { x  e.  NN  | 
( M  ||  x  /\  N  ||  x ) } ,  RR ,  <  ) )
3021, 28, 29syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M lcm  N )  = inf ( { x  e.  NN  |  ( M 
||  x  /\  N  ||  x ) } ,  RR ,  <  ) )
31 lttri3 7310 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  ->  ( f  =  g  <-> 
( -.  f  < 
g  /\  -.  g  <  f ) ) )
3231adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  -> 
( f  =  g  <-> 
( -.  f  < 
g  /\  -.  g  <  f ) ) )
33 gcddvds 10562 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  /\  ( M  gcd  N ) 
||  N ) )
3433simpld 110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N
)  ||  M )
35 gcdcl 10565 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  NN0 )
3635nn0zd 8600 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  ZZ )
37 dvdsmultr1 10441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( M  gcd  N
)  ||  M  ->  ( M  gcd  N ) 
||  ( M  x.  N ) ) )
38373expb 1140 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  ->  ( M  gcd  N )  ||  ( M  x.  N ) ) )
3936, 38mpancom 413 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  -> 
( M  gcd  N
)  ||  ( M  x.  N ) ) )
4034, 39mpd 13 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N
)  ||  ( M  x.  N ) )
4121, 40syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  ||  ( M  x.  N ) )
42 gcdnncl 10566 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  NN )
43 nndivdvds 10409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  x.  N
)  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  e.  NN )  -> 
( ( M  gcd  N )  ||  ( M  x.  N )  <->  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  e.  NN ) )
441, 42, 43syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  ( M  x.  N )  <->  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  e.  NN ) )
4541, 44mpbid 145 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  e.  NN )
4645nnred 8171 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  e.  RR )
4733simprd 112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N
)  ||  N )
4821, 47syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  ||  N )
4921, 36syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  ZZ )
5042nnne0d 8202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  =/=  0 )
51 dvdsval2 10406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  ( M  gcd  N )  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( M  gcd  N
)  ||  N  <->  ( N  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ ) )
5249, 50, 7, 51syl3anc 1170 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  N  <->  ( N  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ ) )
5348, 52mpbid 145 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ )
54 dvdsmul1 10425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ )  ->  M  ||  ( M  x.  ( N  /  ( M  gcd  N ) ) ) )
554, 53, 54syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  M  ||  ( M  x.  ( N  / 
( M  gcd  N
) ) ) )
56 nncn 8166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
5756adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  CC )
58 nncn 8166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
5958adantl 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
6042nncnd 8172 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  CC )
6142nnap0d 8203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
) #  0 )
6257, 59, 60, 61divassapd 8031 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  =  ( M  x.  ( N  /  ( M  gcd  N ) ) ) )
6355, 62breqtrrd 3831 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  M  ||  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) ) )
6421, 34syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  ||  M )
65 dvdsval2 10406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  ( M  gcd  N )  =/=  0  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( M  gcd  N
)  ||  M  <->  ( M  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ ) )
6649, 50, 4, 65syl3anc 1170 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  <->  ( M  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ ) )
6764, 66mpbid 145 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ )
68 dvdsmul1 10425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( M  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( N  x.  ( M  /  ( M  gcd  N ) ) ) )
697, 67, 68syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  N  ||  ( N  x.  ( M  / 
( M  gcd  N
) ) ) )
7057, 59mulcomd 7254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  x.  N
)  =  ( N  x.  M ) )
7170oveq1d 5578 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  =  ( ( N  x.  M )  / 
( M  gcd  N
) ) )
7259, 57, 60, 61divassapd 8031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  x.  M )  /  ( M  gcd  N ) )  =  ( N  x.  ( M  /  ( M  gcd  N ) ) ) )
7371, 72eqtrd 2115 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  =  ( N  x.  ( M  /  ( M  gcd  N ) ) ) )
7469, 73breqtrrd 3831 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  N  ||  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) ) )
7563, 74jca 300 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  ||  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) )  /\  N  ||  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) ) )
76 breq2 3809 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  ->  ( M  ||  x  <->  M  ||  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) ) )
77 breq2 3809 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  ->  ( N  ||  x  <->  N  ||  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) ) )
7876, 77anbi12d 457 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  ->  (
( M  ||  x  /\  N  ||  x )  <-> 
( M  ||  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) )  /\  N  ||  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) ) ) )
7978elrab 2757 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) )  e.  { x  e.  NN  |  ( M 
||  x  /\  N  ||  x ) }  <->  ( (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) )  e.  NN  /\  ( M  ||  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  /\  N  ||  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) ) ) ) )
8045, 75, 79sylanbrc 408 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  e.  { x  e.  NN  |  ( M 
||  x  /\  N  ||  x ) } )
8146adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  {
x  e.  NN  | 
( M  ||  x  /\  N  ||  x ) } )  ->  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) )  e.  RR )
82 elrabi 2754 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  { x  e.  NN  |  ( M 
||  x  /\  N  ||  x ) }  ->  n  e.  NN )
8382nnred 8171 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  { x  e.  NN  |  ( M 
||  x  /\  N  ||  x ) }  ->  n  e.  RR )
8483adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  {
x  e.  NN  | 
( M  ||  x  /\  N  ||  x ) } )  ->  n  e.  RR )
85 breq2 3809 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  n  ->  ( M  ||  x  <->  M  ||  n
) )
86 breq2 3809 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  n  ->  ( N  ||  x  <->  N  ||  n
) )
8785, 86anbi12d 457 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  (
( M  ||  x  /\  N  ||  x )  <-> 
( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )
8887elrab 2757 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  { x  e.  NN  |  ( M 
||  x  /\  N  ||  x ) }  <->  ( n  e.  NN  /\  ( M 
||  n  /\  N  ||  n ) ) )
89 bezout 10607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y ) ) )
9021, 89syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y ) ) )
9190adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( M 
||  n  /\  N  ||  n ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y ) ) )
92 nncn 8166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
9392ad2antlr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  n  e.  CC )
941nncnd 8172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  x.  N
)  e.  CC )
9594ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( M  x.  N )  e.  CC )
9660ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( M  gcd  N )  e.  CC )
9757ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  M  e.  CC )
9858ad3antlr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  N  e.  CC )
99 simplll 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  M  e.  NN )
10099nnap0d 8203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  M #  0
)
101 simpllr 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  N  e.  NN )
102101nnap0d 8203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  N #  0
)
10397, 98, 100, 102mulap0d 7867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( M  x.  N ) #  0 )
10461ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( M  gcd  N ) #  0 )
10593, 95, 96, 103, 104divdivap2d 8028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( n  /  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) ) )  =  ( ( n  x.  ( M  gcd  N
) )  /  ( M  x.  N )
) )
106105adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x
)  +  ( N  x.  y ) ) )  ->  ( n  /  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) ) )  =  ( ( n  x.  ( M  gcd  N
) )  /  ( M  x.  N )
) )
107 oveq2 5571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y
) )  ->  (
n  x.  ( M  gcd  N ) )  =  ( n  x.  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y ) ) ) )
108107oveq1d 5578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y
) )  ->  (
( n  x.  ( M  gcd  N ) )  /  ( M  x.  N ) )  =  ( ( n  x.  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y ) ) )  /  ( M  x.  N )
) )
109 zcn 8489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
110109ad2antrl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  x  e.  CC )
11197, 110mulcld 7253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( M  x.  x )  e.  CC )
112 zcn 8489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
113112ad2antll 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  y  e.  CC )
11498, 113mulcld 7253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( N  x.  y )  e.  CC )
11593, 111, 114adddid 7257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( n  x.  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y ) ) )  =  ( ( n  x.  ( M  x.  x )
)  +  ( n  x.  ( N  x.  y ) ) ) )
116115oveq1d 5578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( (
n  x.  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y ) ) )  /  ( M  x.  N ) )  =  ( ( ( n  x.  ( M  x.  x ) )  +  ( n  x.  ( N  x.  y )
) )  /  ( M  x.  N )
) )
11793, 111mulcld 7253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( n  x.  ( M  x.  x
) )  e.  CC )
11893, 114mulcld 7253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( n  x.  ( N  x.  y
) )  e.  CC )
119117, 118, 95, 103divdirapd 8034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( n  x.  ( M  x.  x )
)  +  ( n  x.  ( N  x.  y ) ) )  /  ( M  x.  N ) )  =  ( ( ( n  x.  ( M  x.  x ) )  / 
( M  x.  N
) )  +  ( ( n  x.  ( N  x.  y )
)  /  ( M  x.  N ) ) ) )
120116, 119eqtrd 2115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( (
n  x.  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y ) ) )  /  ( M  x.  N ) )  =  ( ( ( n  x.  ( M  x.  x ) )  / 
( M  x.  N
) )  +  ( ( n  x.  ( N  x.  y )
)  /  ( M  x.  N ) ) ) )
121108, 120sylan9eqr 2137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x
)  +  ( N  x.  y ) ) )  ->  ( (
n  x.  ( M  gcd  N ) )  /  ( M  x.  N ) )  =  ( ( ( n  x.  ( M  x.  x ) )  / 
( M  x.  N
) )  +  ( ( n  x.  ( N  x.  y )
)  /  ( M  x.  N ) ) ) )
12293, 97, 110mul12d 7379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( n  x.  ( M  x.  x
) )  =  ( M  x.  ( n  x.  x ) ) )
123122oveq1d 5578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( (
n  x.  ( M  x.  x ) )  /  ( M  x.  N ) )  =  ( ( M  x.  ( n  x.  x
) )  /  ( M  x.  N )
) )
12493, 110mulcld 7253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( n  x.  x )  e.  CC )
125124, 98, 97, 102, 100divcanap5d 8022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( ( M  x.  ( n  x.  x ) )  / 
( M  x.  N
) )  =  ( ( n  x.  x
)  /  N ) )
126123, 125eqtrd 2115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( (
n  x.  ( M  x.  x ) )  /  ( M  x.  N ) )  =  ( ( n  x.  x )  /  N
) )
12793, 98, 113mul12d 7379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( n  x.  ( N  x.  y
) )  =  ( N  x.  ( n  x.  y ) ) )
128127oveq1d 5578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( (
n  x.  ( N  x.  y ) )  /  ( M  x.  N ) )  =  ( ( N  x.  ( n  x.  y
) )  /  ( M  x.  N )
) )
12970ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( M  x.  N )  =  ( N  x.  M ) )
130129oveq2d 5579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( ( N  x.  ( n  x.  y ) )  / 
( M  x.  N
) )  =  ( ( N  x.  (
n  x.  y ) )  /  ( N  x.  M ) ) )
13193, 113mulcld 7253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( n  x.  y )  e.  CC )
132131, 97, 98, 100, 102divcanap5d 8022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( ( N  x.  ( n  x.  y ) )  / 
( N  x.  M
) )  =  ( ( n  x.  y
)  /  M ) )
133128, 130, 1323eqtrd 2119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( (
n  x.  ( N  x.  y ) )  /  ( M  x.  N ) )  =  ( ( n  x.  y )  /  M
) )
134126, 133oveq12d 5581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( n  x.  ( M  x.  x )
)  /  ( M  x.  N ) )  +  ( ( n  x.  ( N  x.  y ) )  / 
( M  x.  N
) ) )  =  ( ( ( n  x.  x )  /  N )  +  ( ( n  x.  y
)  /  M ) ) )
135134adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x
)  +  ( N  x.  y ) ) )  ->  ( (
( n  x.  ( M  x.  x )
)  /  ( M  x.  N ) )  +  ( ( n  x.  ( N  x.  y ) )  / 
( M  x.  N
) ) )  =  ( ( ( n  x.  x )  /  N )  +  ( ( n  x.  y
)  /  M ) ) )
136106, 121, 1353eqtrd 2119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x
)  +  ( N  x.  y ) ) )  ->  ( n  /  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) ) )  =  ( ( ( n  x.  x )  /  N )  +  ( ( n  x.  y
)  /  M ) ) )
137136ex 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y ) )  ->  ( n  /  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) ) )  =  ( ( ( n  x.  x )  /  N )  +  ( ( n  x.  y
)  /  M ) ) ) )
138137adantlrr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y ) )  -> 
( n  /  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) )  =  ( ( ( n  x.  x
)  /  N )  +  ( ( n  x.  y )  /  M ) ) ) )
139138imp 122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y
) ) )  -> 
( n  /  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) )  =  ( ( ( n  x.  x
)  /  N )  +  ( ( n  x.  y )  /  M ) ) )
1406ad3antlr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  N  e.  ZZ )
141 nnz 8503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
142141ad2antlr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  n  e.  ZZ )
143 simprl 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  x  e.  ZZ )
144 dvdsmultr1 10441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  n  ->  N  ||  ( n  x.  x
) ) )
145140, 142, 143, 144syl3anc 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( N  ||  n  ->  N  ||  (
n  x.  x ) ) )
14624ad3antlr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  N  =/=  0 )
147142, 143zmulcld 8608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( n  x.  x )  e.  ZZ )
148 dvdsval2 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0  /\  (
n  x.  x )  e.  ZZ )  -> 
( N  ||  (
n  x.  x )  <-> 
( ( n  x.  x )  /  N
)  e.  ZZ ) )
149140, 146, 147, 148syl3anc 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( N  ||  ( n  x.  x
)  <->  ( ( n  x.  x )  /  N )  e.  ZZ ) )
150145, 149sylibd 147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( N  ||  n  ->  ( (
n  x.  x )  /  N )  e.  ZZ ) )
151150adantld 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( ( M  ||  n  /\  N  ||  n )  ->  (
( n  x.  x
)  /  N )  e.  ZZ ) )
1521513impia 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) )  ->  ( (
n  x.  x )  /  N )  e.  ZZ )
1533ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  M  e.  ZZ )
154 simprr 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  y  e.  ZZ )
155 dvdsmultr1 10441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  n  ->  M  ||  ( n  x.  y
) ) )
156153, 142, 154, 155syl3anc 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( M  ||  n  ->  M  ||  (
n  x.  y ) ) )
15722ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  M  =/=  0 )
158142, 154zmulcld 8608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( n  x.  y )  e.  ZZ )
159 dvdsval2 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0  /\  (
n  x.  y )  e.  ZZ )  -> 
( M  ||  (
n  x.  y )  <-> 
( ( n  x.  y )  /  M
)  e.  ZZ ) )
160153, 157, 158, 159syl3anc 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( M  ||  ( n  x.  y
)  <->  ( ( n  x.  y )  /  M )  e.  ZZ ) )
161156, 160sylibd 147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( M  ||  n  ->  ( (
n  x.  y )  /  M )  e.  ZZ ) )
162161adantrd 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( ( M  ||  n  /\  N  ||  n )  ->  (
( n  x.  y
)  /  M )  e.  ZZ ) )
1631623impia 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) )  ->  ( (
n  x.  y )  /  M )  e.  ZZ )
164152, 163zaddcld 8606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) )  ->  ( (
( n  x.  x
)  /  N )  +  ( ( n  x.  y )  /  M ) )  e.  ZZ )
1651643expia 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( ( M  ||  n  /\  N  ||  n )  ->  (
( ( n  x.  x )  /  N
)  +  ( ( n  x.  y )  /  M ) )  e.  ZZ ) )
166165an32s 533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( M  ||  n  /\  N  ||  n )  -> 
( ( ( n  x.  x )  /  N )  +  ( ( n  x.  y
)  /  M ) )  e.  ZZ ) )
167166impr 371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( M 
||  n  /\  N  ||  n ) ) )  ->  ( ( ( n  x.  x )  /  N )  +  ( ( n  x.  y )  /  M
) )  e.  ZZ )
168167an32s 533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( n  x.  x )  /  N )  +  ( ( n  x.  y
)  /  M ) )  e.  ZZ )
169168adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y
) ) )  -> 
( ( ( n  x.  x )  /  N )  +  ( ( n  x.  y
)  /  M ) )  e.  ZZ )
170139, 169eqeltrd 2159 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y
) ) )  -> 
( n  /  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) )  e.  ZZ )
17145nnzd 8601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ )
172171ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ )
17345nnne0d 8202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  =/=  0 )
174173ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  =/=  0 )
175142adantlrr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  n  e.  ZZ )
176 dvdsval2 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ  /\  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) )  =/=  0  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) ) 
||  n  <->  ( n  /  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) ) )  e.  ZZ ) )
177172, 174, 175, 176syl3anc 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  ||  n  <->  ( n  /  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) ) )  e.  ZZ ) )
178177adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y
) ) )  -> 
( ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  ||  n  <->  ( n  /  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) ) )  e.  ZZ ) )
179170, 178mpbird 165 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y
) ) )  -> 
( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) ) 
||  n )
180179ex 113 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y ) )  -> 
( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) ) 
||  n ) )
181180anassrs 392 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
( M  gcd  N
)  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y ) )  -> 
( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) ) 
||  n ) )
182181reximdva 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( E. y  e.  ZZ  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y
) )  ->  E. y  e.  ZZ  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  ||  n
) )
183182reximdva 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( M 
||  n  /\  N  ||  n ) ) )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) 
||  n ) )
18491, 183mpd 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( M 
||  n  /\  N  ||  n ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) 
||  n )
185 1z 8510 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
186 elex2 2624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  E. w  w  e.  ZZ )
187 r19.9rmv 3349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. w  w  e.  ZZ  ->  ( ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  ||  n  <->  E. y  e.  ZZ  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) 
||  n ) )
188185, 186, 187mp2b 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) 
||  n  <->  E. y  e.  ZZ  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  ||  n
)
189 r19.9rmv 3349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. w  w  e.  ZZ  ->  ( E. y  e.  ZZ  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  ||  n  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) 
||  n ) )
190185, 186, 189mp2b 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  ZZ  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) 
||  n  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  ||  n
)
191188, 190bitri 182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) 
||  n  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  ||  n
)
192184, 191sylibr 132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( M 
||  n  /\  N  ||  n ) ) )  ->  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  ||  n
)
193171adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( M 
||  n  /\  N  ||  n ) ) )  ->  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  e.  ZZ )
194 simprl 498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( M 
||  n  /\  N  ||  n ) ) )  ->  n  e.  NN )
195 dvdsle 10452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) ) 
||  n  ->  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) )  <_  n ) )
196193, 194, 195syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( M 
||  n  /\  N  ||  n ) ) )  ->  ( ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  ||  n  ->  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  <_  n ) )
197192, 196mpd 13 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( M 
||  n  /\  N  ||  n ) ) )  ->  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  <_  n
)
19888, 197sylan2b 281 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  {
x  e.  NN  | 
( M  ||  x  /\  N  ||  x ) } )  ->  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) )  <_  n )
19981, 84, 198lensymd 7350 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  {
x  e.  NN  | 
( M  ||  x  /\  N  ||  x ) } )  ->  -.  n  <  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) ) )
20032, 46, 80, 199infminti 6534 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  -> inf ( { x  e.  NN  |  ( M 
||  x  /\  N  ||  x ) } ,  RR ,  <  )  =  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) ) )
20130, 200eqtr2d 2116 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  =  ( M lcm  N
) )
202201, 45eqeltrrd 2160 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M lcm  N )  e.  NN )
203202nncnd 8172 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M lcm  N )  e.  CC )
20494, 203, 60, 61divmulap3d 8030 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  =  ( M lcm  N )  <->  ( M  x.  N )  =  ( ( M lcm  N )  x.  ( M  gcd  N ) ) ) )
205201, 204mpbid 145 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  x.  N
)  =  ( ( M lcm  N )  x.  ( M  gcd  N
) ) )
20620, 205eqtr2d 2116 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M lcm  N
)  x.  ( M  gcd  N ) )  =  ( abs `  ( M  x.  N )
) )
207 simprl 498 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  NN  /\  ( M 
||  K  /\  N  ||  K ) ) )  ->  K  e.  NN )
208 eleq1 2145 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  K  ->  (
n  e.  NN  <->  K  e.  NN ) )
209 breq2 3809 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  K  ->  ( M  ||  n  <->  M  ||  K
) )
210 breq2 3809 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  K  ->  ( N  ||  n  <->  N  ||  K
) )
211209, 210anbi12d 457 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  K  ->  (
( M  ||  n  /\  N  ||  n )  <-> 
( M  ||  K  /\  N  ||  K ) ) )
212208, 211anbi12d 457 . . . . . . 7  |-  ( n  =  K  ->  (
( n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) )  <->  ( K  e.  NN  /\  ( M 
||  K  /\  N  ||  K ) ) ) )
213212anbi2d 452 . . . . . 6  |-  ( n  =  K  ->  (
( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  <->  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  NN  /\  ( M  ||  K  /\  N  ||  K ) ) ) ) )
214 breq2 3809 . . . . . 6  |-  ( n  =  K  ->  (
( M lcm  N ) 
||  n  <->  ( M lcm  N )  ||  K ) )
215213, 214imbi12d 232 . . . . 5  |-  ( n  =  K  ->  (
( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  ->  ( M lcm  N )  ||  n )  <-> 
( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  NN  /\  ( M  ||  K  /\  N  ||  K ) ) )  ->  ( M lcm  N
)  ||  K )
) )
216201breq1d 3815 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  ||  n  <->  ( M lcm  N )  ||  n ) )
217216adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( M 
||  n  /\  N  ||  n ) ) )  ->  ( ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  ||  n  <->  ( M lcm  N )  ||  n ) )
218192, 217mpbid 145 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( M 
||  n  /\  N  ||  n ) ) )  ->  ( M lcm  N
)  ||  n )
219215, 218vtoclg 2667 . . . 4  |-  ( K  e.  NN  ->  (
( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  NN  /\  ( M  ||  K  /\  N  ||  K ) ) )  ->  ( M lcm  N
)  ||  K )
)
220207, 219mpcom 36 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  NN  /\  ( M 
||  K  /\  N  ||  K ) ) )  ->  ( M lcm  N
)  ||  K )
221220ex 113 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( K  e.  NN  /\  ( M 
||  K  /\  N  ||  K ) )  -> 
( M lcm  N ) 
||  K ) )
222206, 221jca 300 1  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M lcm 
N )  x.  ( M  gcd  N ) )  =  ( abs `  ( M  x.  N )
)  /\  ( ( K  e.  NN  /\  ( M  ||  K  /\  N  ||  K ) )  -> 
( M lcm  N ) 
||  K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662    /\ w3a 920    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434    =/= wne 2249   E.wrex 2354   {crab 2357   class class class wbr 3805   ` cfv 4952  (class class class)co 5563  infcinf 6490   CCcc 7093   RRcr 7094   0cc0 7095   1c1 7096    + caddc 7098    x. cmul 7100    < clt 7267    <_ cle 7268   # cap 7800    / cdiv 7879   NNcn 8158   ZZcz 8484   abscabs 10084    || cdvds 10403    gcd cgcd 10545   lcm clcm 10649
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208  ax-arch 7209  ax-caucvg 7210
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-isom 4961  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-sup 6491  df-inf 6492  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-2 8217  df-3 8218  df-4 8219  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-q 8838  df-rp 8868  df-fz 9158  df-fzo 9282  df-fl 9404  df-mod 9457  df-iseq 9574  df-iexp 9625  df-cj 9930  df-re 9931  df-im 9932  df-rsqrt 10085  df-abs 10086  df-dvds 10404  df-gcd 10546  df-lcm 10650
This theorem is referenced by:  lcmgcd  10667  lcmdvds  10668
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