Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lcmval Unicode version

Theorem lcmval 10652
 Description: Value of the lcm operator. lcm is the least common multiple of and . If either or is , the result is defined conventionally as . Contrast with df-gcd 10546 and gcdval 10558. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Revised by AV, 16-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmval lcm inf
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem lcmval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-lcm 10650 . . 3 lcm inf
21a1i 9 . 2 lcm inf
3 eqeq1 2089 . . . . . 6
43orbi1d 738 . . . . 5
5 breq1 3808 . . . . . . . 8
65anbi1d 453 . . . . . . 7
76rabbidv 2599 . . . . . 6
87infeq1d 6519 . . . . 5 inf inf
94, 8ifbieq2d 3390 . . . 4 inf inf
10 eqeq1 2089 . . . . . 6
1110orbi2d 737 . . . . 5
12 breq1 3808 . . . . . . . 8
1312anbi2d 452 . . . . . . 7
1413rabbidv 2599 . . . . . 6
1514infeq1d 6519 . . . . 5 inf inf
1611, 15ifbieq2d 3390 . . . 4 inf inf
179, 16sylan9eq 2135 . . 3 inf inf
1817adantl 271 . 2 inf inf
19 simpl 107 . 2
20 simpr 108 . 2
21 c0ex 7227 . . . 4
2221a1i 9 . . 3
23 1zzd 8511 . . . . 5
24 nnuz 8787 . . . . . 6
25 rabeq 2602 . . . . . 6
2624, 25ax-mp 7 . . . . 5
27 dvdsmul1 10425 . . . . . . . 8
2827adantr 270 . . . . . . 7
29 simpll 496 . . . . . . . 8
30 simplr 497 . . . . . . . . 9
3129, 30zmulcld 8608 . . . . . . . 8
32 dvdsabsb 10422 . . . . . . . 8
3329, 31, 32syl2anc 403 . . . . . . 7
3428, 33mpbid 145 . . . . . 6
35 dvdsmul2 10426 . . . . . . . 8
3635adantr 270 . . . . . . 7
37 dvdsabsb 10422 . . . . . . . 8
3830, 31, 37syl2anc 403 . . . . . . 7
3936, 38mpbid 145 . . . . . 6
4029zcnd 8603 . . . . . . . . 9
4130zcnd 8603 . . . . . . . . 9
4240, 41absmuld 10281 . . . . . . . 8
43 simpr 108 . . . . . . . . . . . . 13
44 ioran 702 . . . . . . . . . . . . 13
4543, 44sylib 120 . . . . . . . . . . . 12
4645simpld 110 . . . . . . . . . . 11
4746neqned 2256 . . . . . . . . . 10
48 nnabscl 10187 . . . . . . . . . 10
4929, 47, 48syl2anc 403 . . . . . . . . 9
5045simprd 112 . . . . . . . . . . 11
5150neqned 2256 . . . . . . . . . 10
52 nnabscl 10187 . . . . . . . . . 10
5330, 51, 52syl2anc 403 . . . . . . . . 9
5449, 53nnmulcld 8206 . . . . . . . 8
5542, 54eqeltrd 2159 . . . . . . 7
56 breq2 3809 . . . . . . . . 9
57 breq2 3809 . . . . . . . . 9
5856, 57anbi12d 457 . . . . . . . 8
5958elrab3 2758 . . . . . . 7
6055, 59syl 14 . . . . . 6
6134, 39, 60mpbir2and 886 . . . . 5
62 elfzelz 9173 . . . . . . 7
63 zdvdsdc 10424 . . . . . . 7 DECID
6429, 62, 63syl2an 283 . . . . . 6 DECID
65 zdvdsdc 10424 . . . . . . 7 DECID
6630, 62, 65syl2an 283 . . . . . 6 DECID
67 dcan 876 . . . . . 6 DECID DECID DECID
6864, 66, 67sylc 61 . . . . 5 DECID
6923, 26, 61, 68infssuzcldc 10554 . . . 4 inf
7069elexd 2621 . . 3 inf
71 lcmmndc 10651 . . 3 DECID
7222, 70, 71ifcldadc 3395 . 2 inf
732, 18, 19, 20, 72ovmpt2d 5679 1 lcm inf
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 102   wb 103   wo 662  DECID wdc 776   wceq 1285   wcel 1434   wne 2249  crab 2357  cvv 2610  cif 3368   class class class wbr 3805  cfv 4952  (class class class)co 5563   cmpt2 5565  infcinf 6490  cr 7094  cc0 7095  c1 7096   cmul 7100   clt 7267  cn 8158  cz 8484  cuz 8752  cfz 9157  cabs 10084   cdvds 10403   lcm clcm 10649 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208  ax-arch 7209  ax-caucvg 7210 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-isom 4961  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-sup 6491  df-inf 6492  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-2 8217  df-3 8218  df-4 8219  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-q 8838  df-rp 8868  df-fz 9158  df-fzo 9282  df-fl 9404  df-mod 9457  df-iseq 9574  df-iexp 9625  df-cj 9930  df-re 9931  df-im 9932  df-rsqrt 10085  df-abs 10086  df-dvds 10404  df-lcm 10650 This theorem is referenced by:  lcmcom  10653  lcm0val  10654  lcmn0val  10655  lcmass  10674
 Copyright terms: Public domain W3C validator