Theorem le2tri3i 7865

Description: Extended trichotomy law for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 14-Aug-2000.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR
lt.3	|- C e. RR

Assertion

Ref	Expression
le2tri3i	|- ( ( A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A ) <-> ( A = B /\ B = C /\ C = A ) )

Proof of Theorem le2tri3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.2	. . . . . 6 |- B e. RR
2		lt.3	. . . . . 6 |- C e. RR
3		lt.1	. . . . . 6 |- A e. RR
4	1, 2, 3	letri 7864	. . . . 5 |- ( ( B <_ C /\ C <_ A ) -> B <_ A )
5	3, 1	letri3i 7855	. . . . . 6 |- ( A = B <-> ( A <_ B /\ B <_ A ) )
6	5	biimpri 132	. . . . 5 |- ( ( A <_ B /\ B <_ A ) -> A = B )
7	4, 6	sylan2 284	. . . 4 |- ( ( A <_ B /\ ( B <_ C /\ C <_ A ) ) -> A = B )
8	7	3impb 1177	. . 3 |- ( ( A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A ) -> A = B )
9	2, 3, 1	letri 7864	. . . . . 6 |- ( ( C <_ A /\ A <_ B ) -> C <_ B )
10	1, 2	letri3i 7855	. . . . . . 7 |- ( B = C <-> ( B <_ C /\ C <_ B ) )
11	10	biimpri 132	. . . . . 6 |- ( ( B <_ C /\ C <_ B ) -> B = C )
12	9, 11	sylan2 284	. . . . 5 |- ( ( B <_ C /\ ( C <_ A /\ A <_ B ) ) -> B = C )
13	12	3impb 1177	. . . 4 |- ( ( B <_ C /\ C <_ A /\ A <_ B ) -> B = C )
14	13	3comr 1189	. . 3 |- ( ( A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A ) -> B = C )
15	3, 1, 2	letri 7864	. . . . 5 |- ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C )
16	3, 2	letri3i 7855	. . . . . . 7 |- ( A = C <-> ( A <_ C /\ C <_ A ) )
17	16	biimpri 132	. . . . . 6 |- ( ( A <_ C /\ C <_ A ) -> A = C )
18	17	eqcomd 2143	. . . . 5 |- ( ( A <_ C /\ C <_ A ) -> C = A )
19	15, 18	sylan 281	. . . 4 |- ( ( ( A <_ B /\ B <_ C ) /\ C <_ A ) -> C = A )
20	19	3impa 1176	. . 3 |- ( ( A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A ) -> C = A )
21	8, 14, 20	3jca 1161	. 2 |- ( ( A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A ) -> ( A = B /\ B = C /\ C = A ) )
22	3	eqlei 7850	. . 3 |- ( A = B -> A <_ B )
23	1	eqlei 7850	. . 3 |- ( B = C -> B <_ C )
24	2	eqlei 7850	. . 3 |- ( C = A -> C <_ A )
25	22, 23, 24	3anim123i 1166	. 2 |- ( ( A = B /\ B = C /\ C = A ) -> ( A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A ) )
26	21, 25	impbii 125	1 |- ( ( A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A ) <-> ( A = B /\ B = C /\ C = A ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3924   RRcr 7612   <_ cle 7794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-apti 7728

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-cnv 4542  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799

This theorem is referenced by: (None)