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Theorem le2tri3i 7185
Description: Extended trichotomy law for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 14-Aug-2000.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1  |-  A  e.  RR
lt.2  |-  B  e.  RR
lt.3  |-  C  e.  RR
Assertion
Ref Expression
le2tri3i  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C  /\  C  <_  A )  <->  ( A  =  B  /\  B  =  C  /\  C  =  A ) )

Proof of Theorem le2tri3i
StepHypRef Expression
1 lt.2 . . . . . 6  |-  B  e.  RR
2 lt.3 . . . . . 6  |-  C  e.  RR
3 lt.1 . . . . . 6  |-  A  e.  RR
41, 2, 3letri 7184 . . . . 5  |-  ( ( B  <_  C  /\  C  <_  A )  ->  B  <_  A )
53, 1letri3i 7175 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  A ) )
65biimpri 128 . . . . 5  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  A )  ->  A  =  B )
74, 6sylan2 274 . . . 4  |-  ( ( A  <_  B  /\  ( B  <_  C  /\  C  <_  A ) )  ->  A  =  B )
873impb 1111 . . 3  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C  /\  C  <_  A )  ->  A  =  B )
92, 3, 1letri 7184 . . . . . 6  |-  ( ( C  <_  A  /\  A  <_  B )  ->  C  <_  B )
101, 2letri3i 7175 . . . . . . 7  |-  ( B  =  C  <->  ( B  <_  C  /\  C  <_  B ) )
1110biimpri 128 . . . . . 6  |-  ( ( B  <_  C  /\  C  <_  B )  ->  B  =  C )
129, 11sylan2 274 . . . . 5  |-  ( ( B  <_  C  /\  ( C  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  B  =  C )
13123impb 1111 . . . 4  |-  ( ( B  <_  C  /\  C  <_  A  /\  A  <_  B )  ->  B  =  C )
14133comr 1123 . . 3  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C  /\  C  <_  A )  ->  B  =  C )
153, 1, 2letri 7184 . . . . 5  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C )
163, 2letri3i 7175 . . . . . . 7  |-  ( A  =  C  <->  ( A  <_  C  /\  C  <_  A ) )
1716biimpri 128 . . . . . 6  |-  ( ( A  <_  C  /\  C  <_  A )  ->  A  =  C )
1817eqcomd 2061 . . . . 5  |-  ( ( A  <_  C  /\  C  <_  A )  ->  C  =  A )
1915, 18sylan 271 . . . 4  |-  ( ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C )  /\  C  <_  A
)  ->  C  =  A )
20193impa 1110 . . 3  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C  /\  C  <_  A )  ->  C  =  A )
218, 14, 203jca 1095 . 2  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C  /\  C  <_  A )  ->  ( A  =  B  /\  B  =  C  /\  C  =  A )
)
223eqlei 7170 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  A  <_  B )
231eqlei 7170 . . 3  |-  ( B  =  C  ->  B  <_  C )
242eqlei 7170 . . 3  |-  ( C  =  A  ->  C  <_  A )
2522, 23, 243anim123i 1100 . 2  |-  ( ( A  =  B  /\  B  =  C  /\  C  =  A )  ->  ( A  <_  B  /\  B  <_  C  /\  C  <_  A ) )
2621, 25impbii 121 1  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C  /\  C  <_  A )  <->  ( A  =  B  /\  B  =  C  /\  C  =  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 101    <-> wb 102    /\ w3a 896    = wceq 1259    e. wcel 1409   class class class wbr 3792   RRcr 6946    <_ cle 7120
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-apti 7057
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-xp 4379  df-cnv 4381  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125
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