ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  leexp2a Unicode version
Theorem leexp2a 10346
Description: Weak ordering relationship for exponentiation. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
leexp2a |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ M ) <_ ( A ^ N ) )
Proof of Theorem leexp2a
StepHypRef Expression
1 simp1 981 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A e. RR )
2 0red 7767 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 e. RR )
3 1red 7781 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 1 e. RR )
4 0lt1 7889 . . . . . . . . 9 |- 0 < 1
54a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 < 1 )
6 simp2 982 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 1 <_ A )
72, 3, 1, 5, 6ltletrd 8185 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 < A )
81, 7elrpd 9481 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A e. RR+ )
9 eluzel2 9331 . . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
1093ad2ant3 1004 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. ZZ )
11 rpexpcl 10312 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR+ /\ M e. ZZ ) -> ( A ^ M ) e. RR+ )
128, 10, 11syl2anc 408 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ M ) e. RR+ )
1312rpred 9483 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ M ) e. RR )
1413recnd 7794 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ M ) e. CC )
1514mulid2d 7784 . 2 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( 1 x. ( A ^ M ) ) = ( A ^ M ) )
16 uznn0sub 9357 . . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N - M ) e. NN0 )
17163ad2ant3 1004 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( N - M ) e. NN0 )
18 expge1 10330 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ ( N - M ) e. NN0 /\ 1 <_ A ) -> 1 <_ ( A ^ ( N - M ) ) )
191, 17, 6, 18syl3anc 1216 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 1 <_ ( A ^ ( N - M ) ) )
201recnd 7794 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A e. CC )
211, 7gt0ap0d 8391 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A # 0 )
22 eluzelz 9335 . . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
23223ad2ant3 1004 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. ZZ )
24 expsubap 10341 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( A ^ ( N - M ) ) = ( ( A ^ N ) / ( A ^ M ) ) )
2520, 21, 23, 10, 24syl22anc 1217 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ ( N - M ) ) = ( ( A ^ N ) / ( A ^ M ) ) )
2619, 25breqtrd 3954 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 1 <_ ( ( A ^ N ) / ( A ^ M ) ) )
27 rpexpcl 10312 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR+ /\ N e. ZZ ) -> ( A ^ N ) e. RR+ )
288, 23, 27syl2anc 408 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ N ) e. RR+ )
2928rpred 9483 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ N ) e. RR )
303, 29, 12lemuldivd 9533 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( 1 x. ( A ^ M ) ) <_ ( A ^ N ) <-> 1 <_ ( ( A ^ N ) / ( A ^ M ) ) ) )
3126, 30mpbird 166 . 2 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( 1 x. ( A ^ M ) ) <_ ( A ^ N ) )
3215, 31eqbrtrrd 3952 1 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ M ) <_ ( A ^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7618   RRcr 7619   0cc0 7620   1c1 7621   x. cmul 7625   < clt 7800   <_ cle 7801   - cmin 7933   # cap 8343   / cdiv 8432   NN0cn0 8977   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326   RR+crp 9441   ^cexp 10292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-rp 9442  df-seqfrec 10219  df-exp 10293
This theorem is referenced by:  expnlbnd2  10417  leexp2ad  10453  ef01bndlem  11463
  Copyright terms: Public domain W3C validator