ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lemininf Unicode version

Theorem lemininf 10334
Description: Two ways of saying a number is less than or equal to the minimum of two others. (Contributed by NM, 3-Aug-2007.)
Assertion
Ref Expression
lemininf  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <_ inf ( { B ,  C } ,  RR ,  <  )  <->  ( A  <_  B  /\  A  <_  C ) ) )

Proof of Theorem lemininf
StepHypRef Expression
1 simp2 940 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
2 simp3 941 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  C  e.  RR )
3 minmax 10331 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  -> inf ( { B ,  C } ,  RR ,  <  )  =  -u sup ( { -u B ,  -u C } ,  RR ,  <  ) )
41, 2, 3syl2anc 403 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  -> inf ( { B ,  C } ,  RR ,  <  )  =  -u sup ( {
-u B ,  -u C } ,  RR ,  <  ) )
54breq2d 3817 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <_ inf ( { B ,  C } ,  RR ,  <  )  <->  A  <_  -u sup ( { -u B ,  -u C } ,  RR ,  <  ) ) )
61renegcld 7621 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  -u B  e.  RR )
72renegcld 7621 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  -u C  e.  RR )
8 maxcl 10315 . . . 4  |-  ( (
-u B  e.  RR  /\  -u C  e.  RR )  ->  sup ( { -u B ,  -u C } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
96, 7, 8syl2anc 403 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  sup ( { -u B ,  -u C } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
10 simp1 939 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
11 lenegcon2 7708 . . 3  |-  ( ( sup ( { -u B ,  -u C } ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( sup ( { -u B ,  -u C } ,  RR ,  <  )  <_  -u A  <->  A  <_  -u sup ( { -u B ,  -u C } ,  RR ,  <  ) ) )
129, 10, 11syl2anc 403 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( sup ( { -u B ,  -u C } ,  RR ,  <  )  <_  -u A  <->  A  <_  -u sup ( { -u B ,  -u C } ,  RR ,  <  ) ) )
1310renegcld 7621 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  -u A  e.  RR )
14 maxleastb 10319 . . . 4  |-  ( (
-u B  e.  RR  /\  -u C  e.  RR  /\  -u A  e.  RR )  ->  ( sup ( { -u B ,  -u C } ,  RR ,  <  )  <_  -u A  <->  ( -u B  <_ 
-u A  /\  -u C  <_ 
-u A ) ) )
156, 7, 13, 14syl3anc 1170 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( sup ( { -u B ,  -u C } ,  RR ,  <  )  <_  -u A  <->  ( -u B  <_ 
-u A  /\  -u C  <_ 
-u A ) ) )
1610, 1lenegd 7761 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -u B  <_  -u A ) )
1710, 2lenegd 7761 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <_  C  <->  -u C  <_  -u A ) )
1816, 17anbi12d 457 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  A  <_  C )  <-> 
( -u B  <_  -u A  /\  -u C  <_  -u A
) ) )
1915, 18bitr4d 189 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( sup ( { -u B ,  -u C } ,  RR ,  <  )  <_  -u A  <->  ( A  <_  B  /\  A  <_  C
) ) )
205, 12, 193bitr2d 214 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <_ inf ( { B ,  C } ,  RR ,  <  )  <->  ( A  <_  B  /\  A  <_  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434   {cpr 3417   class class class wbr 3805   supcsup 6490  infcinf 6491   RRcr 7112    < clt 7285    <_ cle 7286   -ucneg 7417
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7199  ax-resscn 7200  ax-1cn 7201  ax-1re 7202  ax-icn 7203  ax-addcl 7204  ax-addrcl 7205  ax-mulcl 7206  ax-mulrcl 7207  ax-addcom 7208  ax-mulcom 7209  ax-addass 7210  ax-mulass 7211  ax-distr 7212  ax-i2m1 7213  ax-0lt1 7214  ax-1rid 7215  ax-0id 7216  ax-rnegex 7217  ax-precex 7218  ax-cnre 7219  ax-pre-ltirr 7220  ax-pre-ltwlin 7221  ax-pre-lttrn 7222  ax-pre-apti 7223  ax-pre-ltadd 7224  ax-pre-mulgt0 7225  ax-pre-mulext 7226  ax-arch 7227  ax-caucvg 7228
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-isom 4961  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-recs 5975  df-frec 6061  df-sup 6492  df-inf 6493  df-pnf 7287  df-mnf 7288  df-xr 7289  df-ltxr 7290  df-le 7291  df-sub 7418  df-neg 7419  df-reap 7812  df-ap 7819  df-div 7898  df-inn 8177  df-2 8235  df-3 8236  df-4 8237  df-n0 8426  df-z 8503  df-uz 8771  df-rp 8886  df-iseq 9592  df-iexp 9643  df-cj 9948  df-re 9949  df-im 9950  df-rsqrt 10103  df-abs 10104
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator