Theorem lenegcon1 8221

Description: Contraposition of negative in 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 10-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
lenegcon1	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -u A <_ B <-> -u B <_ A ) )

Proof of Theorem lenegcon1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 8016	. . 3 |- ( A e. RR -> -u A e. RR )
2		leneg 8220	. . 3 |- ( ( -u A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -u A <_ B <-> -u B <_ -u -u A ) )
3	1, 2	sylan 281	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -u A <_ B <-> -u B <_ -u -u A ) )
4		recn 7746	. . . . 5 |- ( A e. RR -> A e. CC )
5	4	negnegd 8057	. . . 4 |- ( A e. RR -> -u -u A = A )
6	5	breq2d 3936	. . 3 |- ( A e. RR -> ( -u B <_ -u -u A <-> -u B <_ A ) )
7	6	adantr 274	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -u B <_ -u -u A <-> -u B <_ A ) )
8	3, 7	bitrd 187	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -u A <_ B <-> -u B <_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1480   class class class wbr 3924   RRcr 7612   <_ cle 7794   -ucneg 7927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltadd 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929

This theorem is referenced by:  lenegcon1i  8255  lenegcon1d  8282  ublbneg  9398  absle  10854  lenegsq  10860  abs2difabs  10873  minmax  10994  sinbnd  11448  cosbnd  11449