ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lenlt Unicode version

Theorem lenlt 7254
Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
lenlt  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )

Proof of Theorem lenlt
StepHypRef Expression
1 rexr 7226 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
2 rexr 7226 . 2  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
3 xrlenlt 7244 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
41, 2, 3syl2an 283 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    e. wcel 1434   class class class wbr 3793   RRcr 7042   RR*cxr 7214    < clt 7215    <_ cle 7216
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-br 3794  df-opab 3848  df-xp 4377  df-cnv 4379  df-xr 7219  df-le 7221
This theorem is referenced by:  letri3  7259  ltleletr  7260  letr  7261  leid  7262  ltle  7265  lelttr  7266  ltletr  7267  lenlti  7278  lenltd  7294  lemul1  7760  msqge0  7783  mulge0  7786  ltleap  7797  recgt0  7995  lediv1  8014  dfinfre  8101  nnge1  8129  nnnlt1  8132  avgle1  8338  avgle2  8339  nn0nlt0  8381  zltnle  8478  zleloe  8479  zdcle  8505  recnz  8521  btwnnz  8522  prime  8527  fznlem  9136  fzonlt0  9253  qltnle  9332  bcval4  9776  resqrexlemgt0  10044  climge0  10301
  Copyright terms: Public domain W3C validator