ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  letr Unicode version

Theorem letr 7815
Description: Transitive law. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.)
Assertion
Ref Expression
letr  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C
) )

Proof of Theorem letr
StepHypRef Expression
1 axltwlin 7800 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  <  A  ->  ( C  <  B  \/  B  <  A ) ) )
213coml 1173 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( C  <  A  ->  ( C  <  B  \/  B  <  A ) ) )
3 orcom 702 . . . 4  |-  ( ( C  <  B  \/  B  <  A )  <->  ( B  <  A  \/  C  < 
B ) )
42, 3syl6ib 160 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( C  <  A  ->  ( B  <  A  \/  C  <  B ) ) )
54con3d 605 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( -.  ( B  <  A  \/  C  <  B )  ->  -.  C  <  A ) )
6 lenlt 7808 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
763adant3 986 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
8 lenlt 7808 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <_  C  <->  -.  C  <  B ) )
983adant1 984 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <_  C  <->  -.  C  <  B ) )
107, 9anbi12d 464 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  C )  <-> 
( -.  B  < 
A  /\  -.  C  <  B ) ) )
11 ioran 726 . . 3  |-  ( -.  ( B  <  A  \/  C  <  B )  <-> 
( -.  B  < 
A  /\  -.  C  <  B ) )
1210, 11syl6bbr 197 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  C )  <->  -.  ( B  <  A  \/  C  <  B ) ) )
13 lenlt 7808 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <_  C  <->  -.  C  <  A ) )
14133adant2 985 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <_  C  <->  -.  C  <  A ) )
155, 12, 143imtr4d 202 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 682    /\ w3a 947    e. wcel 1465   class class class wbr 3899   RRcr 7587    < clt 7768    <_ cle 7769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-pre-ltwlin 7701
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-xp 4515  df-cnv 4517  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774
This theorem is referenced by:  letri  7839  letrd  7854  le2add  8174  le2sub  8191  p1le  8575  lemul12b  8587  lemul12a  8588  zletr  9071  peano2uz2  9126  ledivge1le  9481  fznlem  9789  elfz1b  9838  elfz0fzfz0  9871  fz0fzelfz0  9872  fz0fzdiffz0  9875  elfzmlbp  9877  difelfznle  9880  ssfzo12bi  9970  flqge  10023  fldiv4p1lem1div2  10046  monoord  10217  leexp2r  10315  expubnd  10318  le2sq2  10336  facwordi  10454  faclbnd3  10457  facavg  10460  fimaxre2  10966  fsumabs  11202  cvgratnnlemnexp  11261  cvgratnnlemmn  11262  algcvga  11659  prmdvdsfz  11746  prmfac1  11757  sincosq1lem  12833
  Copyright terms: Public domain W3C validator