ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  letrd Unicode version

Theorem letrd 7854
Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
letrd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
letrd.4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
letrd.5  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
Assertion
Ref Expression
letrd  |-  ( ph  ->  A  <_  C )

Proof of Theorem letrd
StepHypRef Expression
1 letrd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2 letrd.5 . 2  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
3 ltd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 ltd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 letrd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
6 letr 7815 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C
) )
73, 4, 5, 6syl3anc 1201 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C
)  ->  A  <_  C ) )
81, 2, 7mp2and 429 1  |-  ( ph  ->  A  <_  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1465   class class class wbr 3899   RRcr 7587    <_ cle 7769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-pre-ltwlin 7701
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-xp 4515  df-cnv 4517  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774
This theorem is referenced by:  eluzuzle  9302  fzdisj  9800  difelfzle  9879  flqwordi  10029  btwnzge0  10041  flqleceil  10058  modqltm1p1mod  10117  seq3split  10220  iseqf1olemqcl  10227  iseqf1olemnab  10229  iseqf1olemab  10230  seq3f1olemqsumkj  10239  seq3f1olemqsumk  10240  seq3f1olemqsum  10241  bernneq  10380  bernneq3  10382  nn0opthlem2d  10435  faclbnd  10455  facubnd  10459  seq3coll  10553  resqrexlemover  10750  resqrexlemdecn  10752  resqrexlemcalc3  10756  absle  10829  releabs  10836  maxleastb  10954  climsqz  11072  climsqz2  11073  fsum3cvg3  11133  expcnvap0  11239  geolim2  11249  cvgratnnlemabsle  11264  cvgratnnlemfm  11266  cvgratnnlemrate  11267  cvgratz  11269  mertenslem2  11273  eftlub  11323  cos12dec  11401  divalglemnqt  11544  infssuzex  11569  ncoprmgcdne1b  11697  ennnfoneleminc  11851  ennnfonelemkh  11852  strleund  11974  suplociccex  12699  ivthinclemlopn  12710  ivthinclemuopn  12712  dveflem  12782  cosordlem  12857
  Copyright terms: Public domain W3C validator