ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  letrd Unicode version

Theorem letrd 7300
Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
letrd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
letrd.4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
letrd.5  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
Assertion
Ref Expression
letrd  |-  ( ph  ->  A  <_  C )

Proof of Theorem letrd
StepHypRef Expression
1 letrd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2 letrd.5 . 2  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
3 ltd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 ltd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 letrd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
6 letr 7261 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C
) )
73, 4, 5, 6syl3anc 1170 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C
)  ->  A  <_  C ) )
81, 2, 7mp2and 424 1  |-  ( ph  ->  A  <_  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    e. wcel 1434   class class class wbr 3793   RRcr 7042    <_ cle 7216
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-pre-ltwlin 7151
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-xp 4377  df-cnv 4379  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221
This theorem is referenced by:  eluzuzle  8708  fzdisj  9147  difelfzle  9222  flqwordi  9370  btwnzge0  9382  flqleceil  9399  modqltm1p1mod  9458  bernneq  9690  bernneq3  9692  nn0opthlem2d  9745  faclbnd  9765  facubnd  9769  resqrexlemover  10034  resqrexlemdecn  10036  resqrexlemcalc3  10040  absle  10113  releabs  10120  maxleastb  10238  climsqz  10311  climsqz2  10312  divalglemnqt  10464  infssuzex  10489  ncoprmgcdne1b  10615
  Copyright terms: Public domain W3C validator