ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  letri3 Unicode version

Theorem letri3 7248
Description: Tightness of real apartness. (Contributed by NM, 14-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
letri3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )

Proof of Theorem letri3
StepHypRef Expression
1 lttri3 7247 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  <-> 
( -.  A  < 
B  /\  -.  B  <  A ) ) )
2 ancom 262 . . 3  |-  ( ( -.  B  <  A  /\  -.  A  <  B
)  <->  ( -.  A  <  B  /\  -.  B  <  A ) )
31, 2syl6bbr 196 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  <-> 
( -.  B  < 
A  /\  -.  A  <  B ) ) )
4 lenlt 7243 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
5 lenlt 7243 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  <->  -.  A  <  B ) )
65ancoms 264 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  <->  -.  A  <  B ) )
74, 6anbi12d 457 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  A
)  <->  ( -.  B  <  A  /\  -.  A  <  B ) ) )
83, 7bitr4d 189 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   class class class wbr 3787   RRcr 7031    < clt 7204    <_ cle 7205
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-apti 7142
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-br 3788  df-opab 3842  df-xp 4371  df-cnv 4373  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210
This theorem is referenced by:  letri3i  7265  letri3d  7282  lesub0  7639  lbreu  8079  nnle1eq1  8119  nn0le0eq0  8372  nn0lt10b  8498  zextle  8508  uz11  8711  uzin  8721  nn01to3  8772  elfz1eq  9119  dvdsabseq  10381  nn0seqcvgd  10556
  Copyright terms: Public domain W3C validator