Theorem letrp1 8606

Description: A transitive property of 'less than or equal' and plus 1. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
letrp1	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> A <_ ( B + 1 ) )

Proof of Theorem letrp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1 8602	. . . . 5 |- ( B e. RR -> B < ( B + 1 ) )
2	1	adantl 275	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> B < ( B + 1 ) )
3		peano2re 7898	. . . . . 6 |- ( B e. RR -> ( B + 1 ) e. RR )
4	3	ancli 321	. . . . 5 |- ( B e. RR -> ( B e. RR /\ ( B + 1 ) e. RR ) )
5		lelttr 7852	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( B + 1 ) e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B < ( B + 1 ) ) -> A < ( B + 1 ) ) )
6	5	3expb 1182	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ ( B e. RR /\ ( B + 1 ) e. RR ) ) -> ( ( A <_ B /\ B < ( B + 1 ) ) -> A < ( B + 1 ) ) )
7	4, 6	sylan2 284	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B < ( B + 1 ) ) -> A < ( B + 1 ) ) )
8	2, 7	mpan2d 424	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B -> A < ( B + 1 ) ) )
9	8	3impia 1178	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> A < ( B + 1 ) )
10		ltle 7851	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ ( B + 1 ) e. RR ) -> ( A < ( B + 1 ) -> A <_ ( B + 1 ) ) )
11	3, 10	sylan2 284	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < ( B + 1 ) -> A <_ ( B + 1 ) ) )
12	11	3adant3 1001	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( A < ( B + 1 ) -> A <_ ( B + 1 ) ) )
13	9, 12	mpd 13	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> A <_ ( B + 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 962   e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7619   1c1 7621   + caddc 7623   < clt 7800   <_ cle 7801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806

This theorem is referenced by:  peano2uz  9378