ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  limom Unicode version

Theorem limom 4497
Description: Omega is a limit ordinal. Theorem 2.8 of [BellMachover] p. 473. (Contributed by NM, 26-Mar-1995.) (Proof rewritten by Jim Kingdon, 5-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
limom  |-  Lim  om

Proof of Theorem limom
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordom 4490 . 2  |-  Ord  om
2 peano1 4478 . 2  |-  (/)  e.  om
3 vex 2663 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
43sucex 4385 . . . . . . . 8  |-  suc  x  e.  _V
54isseti 2668 . . . . . . 7  |-  E. z 
z  =  suc  x
6 peano2 4479 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  om  ->  suc  x  e.  om )
73sucid 4309 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
suc  x
86, 7jctil 310 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  om  ->  (
x  e.  suc  x  /\  suc  x  e.  om ) )
9 eleq2 2181 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  suc  x  -> 
( x  e.  z  <-> 
x  e.  suc  x
) )
10 eleq1 2180 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  suc  x  -> 
( z  e.  om  <->  suc  x  e.  om )
)
119, 10anbi12d 464 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  suc  x  -> 
( ( x  e.  z  /\  z  e. 
om )  <->  ( x  e.  suc  x  /\  suc  x  e.  om )
) )
128, 11syl5ibr 155 . . . . . . 7  |-  ( z  =  suc  x  -> 
( x  e.  om  ->  ( x  e.  z  /\  z  e.  om ) ) )
135, 12eximii 1566 . . . . . 6  |-  E. z
( x  e.  om  ->  ( x  e.  z  /\  z  e.  om ) )
141319.37aiv 1638 . . . . 5  |-  ( x  e.  om  ->  E. z
( x  e.  z  /\  z  e.  om ) )
15 eluni 3709 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. om  <->  E. z
( x  e.  z  /\  z  e.  om ) )
1614, 15sylibr 133 . . . 4  |-  ( x  e.  om  ->  x  e.  U. om )
1716ssriv 3071 . . 3  |-  om  C_  U. om
18 orduniss 4317 . . . 4  |-  ( Ord 
om  ->  U. om  C_  om )
191, 18ax-mp 5 . . 3  |-  U. om  C_ 
om
2017, 19eqssi 3083 . 2  |-  om  =  U. om
21 dflim2 4262 . 2  |-  ( Lim 
om 
<->  ( Ord  om  /\  (/) 
e.  om  /\  om  =  U. om ) )
221, 2, 20, 21mpbir3an 1148 1  |-  Lim  om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1316   E.wex 1453    e. wcel 1465    C_ wss 3041   (/)c0 3333   U.cuni 3706   Ord word 4254   Lim wlim 4256   suc csuc 4257   omcom 4474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-uni 3707  df-int 3742  df-tr 3997  df-iord 4258  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475
This theorem is referenced by:  freccllem  6267  frecfcllem  6269  frecsuclem  6271
  Copyright terms: Public domain W3C validator