ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  limom Unicode version

Theorem limom 4362
Description: Omega is a limit ordinal. Theorem 2.8 of [BellMachover] p. 473. (Contributed by NM, 26-Mar-1995.) (Proof rewritten by Jim Kingdon, 5-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
limom  |-  Lim  om

Proof of Theorem limom
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordom 4355 . 2  |-  Ord  om
2 peano1 4343 . 2  |-  (/)  e.  om
3 vex 2605 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
43sucex 4251 . . . . . . . 8  |-  suc  x  e.  _V
54isseti 2608 . . . . . . 7  |-  E. z 
z  =  suc  x
6 peano2 4344 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  om  ->  suc  x  e.  om )
73sucid 4180 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
suc  x
86, 7jctil 305 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  om  ->  (
x  e.  suc  x  /\  suc  x  e.  om ) )
9 eleq2 2143 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  suc  x  -> 
( x  e.  z  <-> 
x  e.  suc  x
) )
10 eleq1 2142 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  suc  x  -> 
( z  e.  om  <->  suc  x  e.  om )
)
119, 10anbi12d 457 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  suc  x  -> 
( ( x  e.  z  /\  z  e. 
om )  <->  ( x  e.  suc  x  /\  suc  x  e.  om )
) )
128, 11syl5ibr 154 . . . . . . 7  |-  ( z  =  suc  x  -> 
( x  e.  om  ->  ( x  e.  z  /\  z  e.  om ) ) )
135, 12eximii 1534 . . . . . 6  |-  E. z
( x  e.  om  ->  ( x  e.  z  /\  z  e.  om ) )
141319.37aiv 1606 . . . . 5  |-  ( x  e.  om  ->  E. z
( x  e.  z  /\  z  e.  om ) )
15 eluni 3612 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. om  <->  E. z
( x  e.  z  /\  z  e.  om ) )
1614, 15sylibr 132 . . . 4  |-  ( x  e.  om  ->  x  e.  U. om )
1716ssriv 3004 . . 3  |-  om  C_  U. om
18 orduniss 4188 . . . 4  |-  ( Ord 
om  ->  U. om  C_  om )
191, 18ax-mp 7 . . 3  |-  U. om  C_ 
om
2017, 19eqssi 3016 . 2  |-  om  =  U. om
21 dflim2 4133 . 2  |-  ( Lim 
om 
<->  ( Ord  om  /\  (/) 
e.  om  /\  om  =  U. om ) )
221, 2, 20, 21mpbir3an 1121 1  |-  Lim  om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434    C_ wss 2974   (/)c0 3258   U.cuni 3609   Ord word 4125   Lim wlim 4127   suc csuc 4128   omcom 4339
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-uni 3610  df-int 3645  df-tr 3884  df-iord 4129  df-ilim 4132  df-suc 4134  df-iom 4340
This theorem is referenced by:  freccllem  6051  frecfcllem  6053  frecsuclem  6055
  Copyright terms: Public domain W3C validator