ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lt2addnq Unicode version

Theorem lt2addnq 6560
Description: Ordering property of addition for positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
lt2addnq  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  /\  ( C  e.  Q.  /\  D  e.  Q. )
)  ->  ( ( A  <Q  B  /\  C  <Q  D )  ->  ( A  +Q  C )  <Q 
( B  +Q  D
) ) )

Proof of Theorem lt2addnq
StepHypRef Expression
1 ltanqg 6556 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  ( C  +Q  A )  <Q  ( C  +Q  B ) ) )
213expa 1115 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  /\  C  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <-> 
( C  +Q  A
)  <Q  ( C  +Q  B ) ) )
32adantrr 456 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  /\  ( C  e.  Q.  /\  D  e.  Q. )
)  ->  ( A  <Q  B  <->  ( C  +Q  A )  <Q  ( C  +Q  B ) ) )
4 addcomnqg 6537 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  A  e.  Q. )  ->  ( C  +Q  A
)  =  ( A  +Q  C ) )
54ancoms 259 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( C  +Q  A
)  =  ( A  +Q  C ) )
65ad2ant2r 486 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  /\  ( C  e.  Q.  /\  D  e.  Q. )
)  ->  ( C  +Q  A )  =  ( A  +Q  C ) )
7 addcomnqg 6537 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( C  +Q  B
)  =  ( B  +Q  C ) )
87ancoms 259 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( C  +Q  B
)  =  ( B  +Q  C ) )
98ad2ant2lr 487 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  /\  ( C  e.  Q.  /\  D  e.  Q. )
)  ->  ( C  +Q  B )  =  ( B  +Q  C ) )
106, 9breq12d 3805 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  /\  ( C  e.  Q.  /\  D  e.  Q. )
)  ->  ( ( C  +Q  A )  <Q 
( C  +Q  B
)  <->  ( A  +Q  C )  <Q  ( B  +Q  C ) ) )
113, 10bitrd 181 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  /\  ( C  e.  Q.  /\  D  e.  Q. )
)  ->  ( A  <Q  B  <->  ( A  +Q  C )  <Q  ( B  +Q  C ) ) )
12 ltanqg 6556 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  D  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( C  <Q  D  <->  ( B  +Q  C )  <Q  ( B  +Q  D ) ) )
13123expa 1115 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  Q.  /\  D  e.  Q. )  /\  B  e.  Q. )  ->  ( C  <Q  D  <-> 
( B  +Q  C
)  <Q  ( B  +Q  D ) ) )
1413ancoms 259 . . . 4  |-  ( ( B  e.  Q.  /\  ( C  e.  Q.  /\  D  e.  Q. )
)  ->  ( C  <Q  D  <->  ( B  +Q  C )  <Q  ( B  +Q  D ) ) )
1514adantll 453 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  /\  ( C  e.  Q.  /\  D  e.  Q. )
)  ->  ( C  <Q  D  <->  ( B  +Q  C )  <Q  ( B  +Q  D ) ) )
1611, 15anbi12d 450 . 2  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  /\  ( C  e.  Q.  /\  D  e.  Q. )
)  ->  ( ( A  <Q  B  /\  C  <Q  D )  <->  ( ( A  +Q  C )  <Q 
( B  +Q  C
)  /\  ( B  +Q  C )  <Q  ( B  +Q  D ) ) ) )
17 ltsonq 6554 . . 3  |-  <Q  Or  Q.
18 ltrelnq 6521 . . 3  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
1917, 18sotri 4748 . 2  |-  ( ( ( A  +Q  C
)  <Q  ( B  +Q  C )  /\  ( B  +Q  C )  <Q 
( B  +Q  D
) )  ->  ( A  +Q  C )  <Q 
( B  +Q  D
) )
2016, 19syl6bi 156 1  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  /\  ( C  e.  Q.  /\  D  e.  Q. )
)  ->  ( ( A  <Q  B  /\  C  <Q  D )  ->  ( A  +Q  C )  <Q 
( B  +Q  D
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    = wceq 1259    e. wcel 1409   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540   Q.cnq 6436    +Q cplq 6438    <Q cltq 6441
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-ltnqqs 6509
This theorem is referenced by:  addlocprlemeqgt  6688  addnqprlemrl  6713  addnqprlemru  6714  cauappcvgprlemladdfl  6811  caucvgprlemloc  6831  caucvgprprlemloccalc  6840
  Copyright terms: Public domain W3C validator