Theorem lt2addnq 7212

Description: Ordering property of addition for positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
lt2addnq	|- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) /\ ( C e. Q. /\ D e. Q. ) ) -> ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> ( A +Q C ) <Q ( B +Q D ) ) )

Proof of Theorem lt2addnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltanqg 7208	. . . . . 6 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( C +Q A ) <Q ( C +Q B ) ) )
2	1	3expa 1181	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) /\ C e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( C +Q A ) <Q ( C +Q B ) ) )
3	2	adantrr 470	. . . 4 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) /\ ( C e. Q. /\ D e. Q. ) ) -> ( A <Q B <-> ( C +Q A ) <Q ( C +Q B ) ) )
4		addcomnqg 7189	. . . . . . 7 |- ( ( C e. Q. /\ A e. Q. ) -> ( C +Q A ) = ( A +Q C ) )
5	4	ancoms 266	. . . . . 6 |- ( ( A e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( C +Q A ) = ( A +Q C ) )
6	5	ad2ant2r 500	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) /\ ( C e. Q. /\ D e. Q. ) ) -> ( C +Q A ) = ( A +Q C ) )
7		addcomnqg 7189	. . . . . . 7 |- ( ( C e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( C +Q B ) = ( B +Q C ) )
8	7	ancoms 266	. . . . . 6 |- ( ( B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( C +Q B ) = ( B +Q C ) )
9	8	ad2ant2lr 501	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) /\ ( C e. Q. /\ D e. Q. ) ) -> ( C +Q B ) = ( B +Q C ) )
10	6, 9	breq12d 3942	. . . 4 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) /\ ( C e. Q. /\ D e. Q. ) ) -> ( ( C +Q A ) <Q ( C +Q B ) <-> ( A +Q C ) <Q ( B +Q C ) ) )
11	3, 10	bitrd 187	. . 3 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) /\ ( C e. Q. /\ D e. Q. ) ) -> ( A <Q B <-> ( A +Q C ) <Q ( B +Q C ) ) )
12		ltanqg 7208	. . . . . 6 |- ( ( C e. Q. /\ D e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( C <Q D <-> ( B +Q C ) <Q ( B +Q D ) ) )
13	12	3expa 1181	. . . . 5 |- ( ( ( C e. Q. /\ D e. Q. ) /\ B e. Q. ) -> ( C <Q D <-> ( B +Q C ) <Q ( B +Q D ) ) )
14	13	ancoms 266	. . . 4 |- ( ( B e. Q. /\ ( C e. Q. /\ D e. Q. ) ) -> ( C <Q D <-> ( B +Q C ) <Q ( B +Q D ) ) )
15	14	adantll 467	. . 3 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) /\ ( C e. Q. /\ D e. Q. ) ) -> ( C <Q D <-> ( B +Q C ) <Q ( B +Q D ) ) )
16	11, 15	anbi12d 464	. 2 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) /\ ( C e. Q. /\ D e. Q. ) ) -> ( ( A <Q B /\ C <Q D ) <-> ( ( A +Q C ) <Q ( B +Q C ) /\ ( B +Q C ) <Q ( B +Q D ) ) ) )
17		ltsonq 7206	. . 3 |- <Q Or Q.
18		ltrelnq 7173	. . 3 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
19	17, 18	sotri 4934	. 2 |- ( ( ( A +Q C ) <Q ( B +Q C ) /\ ( B +Q C ) <Q ( B +Q D ) ) -> ( A +Q C ) <Q ( B +Q D ) )
20	16, 19	syl6bi 162	1 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) /\ ( C e. Q. /\ D e. Q. ) ) -> ( ( A <Q B /\ C <Q D ) -> ( A +Q C ) <Q ( B +Q D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   Q.cnq 7088   +Q cplq 7090   <Q cltq 7093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7112  df-pli 7113  df-mi 7114  df-lti 7115  df-plpq 7152  df-enq 7155  df-nqqs 7156  df-plqqs 7157  df-ltnqqs 7161

This theorem is referenced by:  addlocprlemeqgt  7340  addnqprlemrl  7365  addnqprlemru  7366  cauappcvgprlemladdfl  7463  caucvgprlemloc  7483  caucvgprprlemloccalc  7492