ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltadd1dd Unicode version

Theorem ltadd1dd 7712
Description: Addition to both sides of 'less than'. Theorem I.18 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltadd1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
ltadd1dd.4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Assertion
Ref Expression
ltadd1dd  |-  ( ph  ->  ( A  +  C
)  <  ( B  +  C ) )

Proof of Theorem ltadd1dd
StepHypRef Expression
1 ltadd1dd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <  B )
2 leidd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ltnegd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 ltadd1d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
52, 3, 4ltadd1d 7694 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  ( A  +  C )  <  ( B  +  C ) ) )
61, 5mpbid 145 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  C
)  <  ( B  +  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1434   class class class wbr 3787  (class class class)co 5537   RRcr 7031    + caddc 7035    < clt 7204
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-addcom 7127  ax-addass 7129  ax-i2m1 7132  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-pre-ltadd 7143
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-br 3788  df-opab 3842  df-xp 4371  df-iota 4891  df-fv 4934  df-ov 5540  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-ltxr 7209
This theorem is referenced by:  fzoaddel  9267  flqaddz  9368  cvg1nlemres  9998  recvguniqlem  10007
  Copyright terms: Public domain W3C validator