ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltadd2dd Unicode version

Theorem ltadd2dd 8152
Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltadd2d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltadd2d.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltadd2d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
ltletrd.4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Assertion
Ref Expression
ltadd2dd  |-  ( ph  ->  ( C  +  A
)  <  ( C  +  B ) )

Proof of Theorem ltadd2dd
StepHypRef Expression
1 ltletrd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <  B )
2 ltadd2d.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ltadd2d.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 ltadd2d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
52, 3, 4ltadd2d 8151 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  ( C  +  A )  <  ( C  +  B ) ) )
61, 5mpbid 146 1  |-  ( ph  ->  ( C  +  A
)  <  ( C  +  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1465   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742   RRcr 7587    + caddc 7591    < clt 7768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-i2m1 7693  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-xp 4515  df-iota 5058  df-fv 5101  df-ov 5745  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-ltxr 7773
This theorem is referenced by:  zltaddlt1le  9757  rebtwn2zlemstep  9998  rebtwn2z  10000  2tnp1ge0ge0  10042  cvg1nlemcau  10724  resqrexlemdec  10751  cos12dec  11401  eirraplem  11410  ivthinclemlopn  12710  cosq23lt0  12841  cosordlem  12857
  Copyright terms: Public domain W3C validator