Theorem ltanqg 7208

Description: Ordering property of addition for positive fractions. Proposition 9-2.6(ii) of [Gleason] p. 120. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltanqg	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( C +Q A ) <Q ( C +Q B ) ) )

Proof of Theorem ltanqg

Dummy variables x y z w v u f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7156	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		breq1 3932	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> A <Q [ <. z , w >. ] ~Q ) )
3		oveq2 5782	. . . 4 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. x , y >. ] ~Q ) = ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) )
4	3	breq1d 3939	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. x , y >. ] ~Q ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) )
5	2, 4	bibi12d 234	. 2 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. x , y >. ] ~Q ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) <-> ( A <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) ) )
6		breq2 3933	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( A <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> A <Q B ) )
7		oveq2 5782	. . . 4 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q B ) )
8	7	breq2d 3941	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q B ) ) )
9	6, 8	bibi12d 234	. 2 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( ( A <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) <-> ( A <Q B <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q B ) ) ) )
10		oveq1 5781	. . . 4 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q = C -> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) = ( C +Q A ) )
11		oveq1 5781	. . . 4 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q = C -> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q B ) = ( C +Q B ) )
12	10, 11	breq12d 3942	. . 3 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q = C -> ( ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q B ) <-> ( C +Q A ) <Q ( C +Q B ) ) )
13	12	bibi2d 231	. 2 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q = C -> ( ( A <Q B <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q B ) ) <-> ( A <Q B <-> ( C +Q A ) <Q ( C +Q B ) ) ) )
14		addclpi 7135	. . . . . 6 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f +N g ) e. N. )
15	14	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f +N g ) e. N. )
16		simp3l 1009	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> v e. N. )
17		simp1r 1006	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> y e. N. )
18		mulclpi 7136	. . . . . 6 |- ( ( v e. N. /\ y e. N. ) -> ( v .N y ) e. N. )
19	16, 17, 18	syl2anc 408	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( v .N y ) e. N. )
20		simp3r 1010	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> u e. N. )
21		simp1l 1005	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> x e. N. )
22		mulclpi 7136	. . . . . 6 |- ( ( u e. N. /\ x e. N. ) -> ( u .N x ) e. N. )
23	20, 21, 22	syl2anc 408	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( u .N x ) e. N. )
24	15, 19, 23	caovcld 5924	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) e. N. )
25		mulclpi 7136	. . . . 5 |- ( ( u e. N. /\ y e. N. ) -> ( u .N y ) e. N. )
26	20, 17, 25	syl2anc 408	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( u .N y ) e. N. )
27		mulclpi 7136	. . . . . . 7 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f .N g ) e. N. )
28	27	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) e. N. )
29		simp2r 1008	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> w e. N. )
30	28, 16, 29	caovcld 5924	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( v .N w ) e. N. )
31		simp2l 1007	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> z e. N. )
32		mulclpi 7136	. . . . . 6 |- ( ( u e. N. /\ z e. N. ) -> ( u .N z ) e. N. )
33	20, 31, 32	syl2anc 408	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( u .N z ) e. N. )
34	15, 30, 33	caovcld 5924	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) e. N. )
35		mulclpi 7136	. . . . 5 |- ( ( u e. N. /\ w e. N. ) -> ( u .N w ) e. N. )
36	20, 29, 35	syl2anc 408	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( u .N w ) e. N. )
37		ordpipqqs 7182	. . . 4 |- ( ( ( ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) e. N. /\ ( u .N y ) e. N. ) /\ ( ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) e. N. /\ ( u .N w ) e. N. ) ) -> ( [ <. ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) , ( u .N y ) >. ] ~Q <Q [ <. ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) , ( u .N w ) >. ] ~Q <-> ( ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) ) ) )
38	24, 26, 34, 36, 37	syl22anc 1217	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) , ( u .N y ) >. ] ~Q <Q [ <. ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) , ( u .N w ) >. ] ~Q <-> ( ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) ) ) )
39		simp3 983	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( v e. N. /\ u e. N. ) )
40		simp1 981	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( x e. N. /\ y e. N. ) )
41		addpipqqs 7178	. . . . 5 |- ( ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. x , y >. ] ~Q ) = [ <. ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) , ( u .N y ) >. ] ~Q )
42	39, 40, 41	syl2anc 408	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. x , y >. ] ~Q ) = [ <. ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) , ( u .N y ) >. ] ~Q )
43		simp2 982	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( z e. N. /\ w e. N. ) )
44		addpipqqs 7178	. . . . 5 |- ( ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) , ( u .N w ) >. ] ~Q )
45	39, 43, 44	syl2anc 408	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) , ( u .N w ) >. ] ~Q )
46	42, 45	breq12d 3942	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. x , y >. ] ~Q ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) <-> [ <. ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) , ( u .N y ) >. ] ~Q <Q [ <. ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) , ( u .N w ) >. ] ~Q ) )
47		ordpipqqs 7182	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( x .N w ) <N ( y .N z ) ) )
48	47	3adant3 1001	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( x .N w ) <N ( y .N z ) ) )
49		mulclpi 7136	. . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ w e. N. ) -> ( x .N w ) e. N. )
50	21, 29, 49	syl2anc 408	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( x .N w ) e. N. )
51		mulclpi 7136	. . . . . 6 |- ( ( y e. N. /\ z e. N. ) -> ( y .N z ) e. N. )
52	17, 31, 51	syl2anc 408	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( y .N z ) e. N. )
53		mulclpi 7136	. . . . . 6 |- ( ( u e. N. /\ u e. N. ) -> ( u .N u ) e. N. )
54	20, 20, 53	syl2anc 408	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( u .N u ) e. N. )
55		ltmpig 7147	. . . . 5 |- ( ( ( x .N w ) e. N. /\ ( y .N z ) e. N. /\ ( u .N u ) e. N. ) -> ( ( x .N w ) <N ( y .N z ) <-> ( ( u .N u ) .N ( x .N w ) ) <N ( ( u .N u ) .N ( y .N z ) ) ) )
56	50, 52, 54, 55	syl3anc 1216	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .N w ) <N ( y .N z ) <-> ( ( u .N u ) .N ( x .N w ) ) <N ( ( u .N u ) .N ( y .N z ) ) ) )
57		mulclpi 7136	. . . . . . 7 |- ( ( ( u .N x ) e. N. /\ ( u .N w ) e. N. ) -> ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) e. N. )
58	23, 36, 57	syl2anc 408	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) e. N. )
59		mulclpi 7136	. . . . . . 7 |- ( ( ( u .N y ) e. N. /\ ( u .N z ) e. N. ) -> ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) e. N. )
60	26, 33, 59	syl2anc 408	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) e. N. )
61		mulclpi 7136	. . . . . . 7 |- ( ( ( v .N y ) e. N. /\ ( u .N w ) e. N. ) -> ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) e. N. )
62	19, 36, 61	syl2anc 408	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) e. N. )
63		ltapig 7146	. . . . . 6 |- ( ( ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) e. N. /\ ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) e. N. /\ ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) e. N. ) -> ( ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) <-> ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) ) <N ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) ) ) )
64	58, 60, 62, 63	syl3anc 1216	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) <-> ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) ) <N ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) ) ) )
65		mulcompig 7139	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
66	65	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
67		mulasspig 7140	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
68	67	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
69	20, 20, 21, 66, 68, 29, 28	caov4d 5955	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N u ) .N ( x .N w ) ) = ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) )
70	20, 20, 17, 66, 68, 31, 28	caov4d 5955	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N u ) .N ( y .N z ) ) = ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) )
71	69, 70	breq12d 3942	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( u .N u ) .N ( x .N w ) ) <N ( ( u .N u ) .N ( y .N z ) ) <-> ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) ) )
72		distrpig 7141	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( f .N ( g +N h ) ) = ( ( f .N g ) +N ( f .N h ) ) )
73	72	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) ) -> ( f .N ( g +N h ) ) = ( ( f .N g ) +N ( f .N h ) ) )
74	73, 19, 23, 36, 15, 66	caovdir2d 5947	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) .N ( u .N w ) ) = ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) ) )
75	73, 26, 30, 33	caovdid 5946	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N y ) .N ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) ) = ( ( ( u .N y ) .N ( v .N w ) ) +N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) ) )
76	20, 17, 16, 66, 68, 29, 28	caov411d 5956	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N y ) .N ( v .N w ) ) = ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) )
77	76	oveq1d 5789	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( u .N y ) .N ( v .N w ) ) +N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) ) = ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) ) )
78	75, 77	eqtrd 2172	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N y ) .N ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) ) = ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) ) )
79	74, 78	breq12d 3942	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) ) <-> ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) ) <N ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) ) ) )
80	64, 71, 79	3bitr4d 219	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( u .N u ) .N ( x .N w ) ) <N ( ( u .N u ) .N ( y .N z ) ) <-> ( ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) ) ) )
81	48, 56, 80	3bitrd 213	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) ) ) )
82	38, 46, 81	3bitr4rd 220	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. x , y >. ] ~Q ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) )
83	1, 5, 9, 13, 82	3ecoptocl 6518	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( C +Q A ) <Q ( C +Q B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   <.cop 3530   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   [cec 6427   N.cnpi 7080   +N cpli 7081   .N cmi 7082   <N clti 7083   ~Q ceq 7087   Q.cnq 7088   +Q cplq 7090   <Q cltq 7093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7112  df-pli 7113  df-mi 7114  df-lti 7115  df-plpq 7152  df-enq 7155  df-nqqs 7156  df-plqqs 7157  df-ltnqqs 7161

This theorem is referenced by:  ltanqi  7210  lt2addnq  7212  ltaddnq  7215  prarloclemlt  7301  prarloclemcalc  7310  addlocprlemgt  7342  addclpr  7345  prmuloclemcalc  7373  distrlem4prl  7392  distrlem4pru  7393  ltexprlemopl  7409  ltexprlemopu  7411  ltexprlemdisj  7414  ltexprlemloc  7415  ltexprlemfl  7417  ltexprlemfu  7419  aptiprleml  7447  aptiprlemu  7448  cauappcvgprlemopl  7454  cauappcvgprlemlol  7455  cauappcvgprlemdisj  7459  cauappcvgprlemloc  7460  cauappcvgprlemladdfu  7462  cauappcvgprlemladdru  7464  cauappcvgprlemladdrl  7465  cauappcvgprlem1  7467  caucvgprlemnkj  7474  caucvgprlemnbj  7475  caucvgprlemm  7476  caucvgprlemopl  7477  caucvgprlemlol  7478  caucvgprlemloc  7483  caucvgprlemladdfu  7485  caucvgprlemladdrl  7486  caucvgprprlemml  7502  caucvgprprlemopl  7505  caucvgprprlemlol  7506