ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltanqi Unicode version

Theorem ltanqi 6558
Description: Ordering property of addition for positive fractions. One direction of ltanqg 6556. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltanqi  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  ->  ( C  +Q  A
)  <Q  ( C  +Q  B ) )

Proof of Theorem ltanqi
StepHypRef Expression
1 simpl 106 . 2  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  ->  A  <Q  B )
2 ltrelnq 6521 . . . 4  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
32brel 4420 . . 3  |-  ( A 
<Q  B  ->  ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. ) )
4 ltanqg 6556 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  ( C  +Q  A )  <Q  ( C  +Q  B ) ) )
543expa 1115 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  /\  C  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <-> 
( C  +Q  A
)  <Q  ( C  +Q  B ) ) )
63, 5sylan 271 . 2  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  ( C  +Q  A )  <Q  ( C  +Q  B ) ) )
71, 6mpbid 139 1  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  ->  ( C  +Q  A
)  <Q  ( C  +Q  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    e. wcel 1409   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540   Q.cnq 6436    +Q cplq 6438    <Q cltq 6441
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-ltnqqs 6509
This theorem is referenced by:  ltbtwnnqq  6571  prmuloclemcalc  6721  ltexprlemlol  6758  ltexprlemupu  6760  addcanprlemu  6771  cauappcvgprlemloc  6808  cauappcvgprlem2  6816  caucvgprlemloc  6831  caucvgprlem1  6835  caucvgprlem2  6836  caucvgprprlemloccalc  6840
  Copyright terms: Public domain W3C validator