Theorem ltapd 7855

Description: 'Less than' implies apart. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltapd.a	|- ( ph -> A e. RR )
ltapd.b	|- ( ph -> B e. RR )
ltapd.lt	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
ltapd	|- ( ph -> A # B )

Proof of Theorem ltapd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltapd.a	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltapd.b	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
3		ltapd.lt	. . 3 |- ( ph -> A < B )
4	1, 2, 3	gtapd 7854	. 2 |- ( ph -> B # A )
5	2	recnd 7261	. . 3 |- ( ph -> B e. CC )
6	1	recnd 7261	. . 3 |- ( ph -> A e. CC )
7		apsym 7825	. . 3 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( B # A <-> A # B ) )
8	5, 6, 7	syl2anc 403	. 2 |- ( ph -> ( B # A <-> A # B ) )
9	4, 8	mpbid 145	1 |- ( ph -> A # B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   e. wcel 1434   class class class wbr 3805   CCcc 7093   RRcr 7094   < clt 7267   # cap 7800

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-ltxr 7272  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801

This theorem is referenced by: (None)