ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltdcpi Unicode version

Theorem ltdcpi 6611
Description: Less-than for positive integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltdcpi  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  -> DECID  A 
<N  B )

Proof of Theorem ltdcpi
StepHypRef Expression
1 pinn 6597 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
2 pinn 6597 . . 3  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
3 nndcel 6165 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  -> DECID  A  e.  B )
41, 2, 3syl2an 283 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  -> DECID  A  e.  B )
5 ltpiord 6607 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <->  A  e.  B ) )
65dcbid 782 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  (DECID  A  <N  B  <-> DECID  A  e.  B
) )
74, 6mpbird 165 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  -> DECID  A 
<N  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102  DECID wdc 776    e. wcel 1434   class class class wbr 3806   omcom 4360   N.cnpi 6560    <N clti 6563
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-iinf 4358
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-br 3807  df-opab 3861  df-tr 3897  df-eprel 4073  df-iord 4150  df-on 4152  df-suc 4155  df-iom 4361  df-xp 4398  df-ni 6592  df-lti 6595
This theorem is referenced by:  ltdcnq  6685
  Copyright terms: Public domain W3C validator