Theorem ltexnqi 6650

Description: Ordering on positive fractions in terms of existence of sum. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ltexnqi	|- ( A <Q B -> E. x e. Q. ( A +Q x ) = B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem ltexnqi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 6606	. . 3 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
2	1	brel 4412	. 2 |- ( A <Q B -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
3		ltexnqq 6649	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B <-> E. x e. Q. ( A +Q x ) = B ) )
4	3	biimpd 142	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B -> E. x e. Q. ( A +Q x ) = B ) )
5	2, 4	mpcom 36	1 |- ( A <Q B -> E. x e. Q. ( A +Q x ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1285   e. wcel 1434   E.wrex 2350   class class class wbr 3787  (class class class)co 5537   Q.cnq 6521   +Q cplq 6523   <Q cltq 6526

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3895  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-iinf 4331

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-tr 3878  df-eprel 4046  df-id 4050  df-iord 4123  df-on 4125  df-suc 4128  df-iom 4334  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-f1 4931  df-fo 4932  df-f1o 4933  df-fv 4934  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 6013  df-1o 6059  df-oadd 6063  df-omul 6064  df-er 6165  df-ec 6167  df-qs 6171  df-ni 6545  df-pli 6546  df-mi 6547  df-lti 6548  df-plpq 6585  df-mpq 6586  df-enq 6588  df-nqqs 6589  df-plqqs 6590  df-mqqs 6591  df-1nqqs 6592  df-ltnqqs 6594

This theorem is referenced by:  ltbtwnnqq  6656  prnmaddl  6731  prmuloc  6807  ltexprlemm  6841  ltexprlemloc  6848  ltexprlemru  6853  addcanprlemu  6856  prplnqu  6861  aptiprleml  6880  aptiprlemu  6881  cauappcvgprlemloc  6893  caucvgprlemloc  6916  caucvgprprlemloc  6944