ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltmnqg Unicode version

Theorem ltmnqg 7177
Description: Ordering property of multiplication for positive fractions. Proposition 9-2.6(iii) of [Gleason] p. 120. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltmnqg  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  ( C  .Q  A )  <Q  ( C  .Q  B ) ) )

Proof of Theorem ltmnqg
Dummy variables  x  y  z  w  v  u  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 7124 . 2  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
2 breq1 3902 . . 3  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~Q  =  A  -> 
( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  A  <Q  [
<. z ,  w >. ]  ~Q  ) )
3 oveq2 5750 . . . 4  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~Q  =  A  -> 
( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  .Q  [
<. x ,  y >. ]  ~Q  )  =  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  .Q  A
) )
43breq1d 3909 . . 3  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~Q  =  A  -> 
( ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  .Q  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  <Q 
( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  .Q  [
<. z ,  w >. ]  ~Q  )  <->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  .Q  A ) 
<Q  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  .Q  [
<. z ,  w >. ]  ~Q  ) ) )
52, 4bibi12d 234 . 2  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~Q  =  A  -> 
( ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  .Q  [ <. x ,  y >. ]  ~Q  )  <Q  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  .Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) )  <-> 
( A  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  .Q  A
)  <Q  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  .Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) ) ) )
6 breq2 3903 . . 3  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  B  -> 
( A  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  A 
<Q  B ) )
7 oveq2 5750 . . . 4  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  B  -> 
( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  .Q  [
<. z ,  w >. ]  ~Q  )  =  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  .Q  B
) )
87breq2d 3911 . . 3  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  B  -> 
( ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  .Q  A )  <Q  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  .Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  <->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  .Q  A ) 
<Q  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  .Q  B ) ) )
96, 8bibi12d 234 . 2  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  B  -> 
( ( A  <Q  [
<. z ,  w >. ]  ~Q  <->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  .Q  A )  <Q  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  .Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) )  <->  ( A  <Q  B  <->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  .Q  A )  <Q  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  .Q  B
) ) ) )
10 oveq1 5749 . . . 4  |-  ( [
<. v ,  u >. ]  ~Q  =  C  -> 
( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  .Q  A )  =  ( C  .Q  A ) )
11 oveq1 5749 . . . 4  |-  ( [
<. v ,  u >. ]  ~Q  =  C  -> 
( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  .Q  B )  =  ( C  .Q  B ) )
1210, 11breq12d 3912 . . 3  |-  ( [
<. v ,  u >. ]  ~Q  =  C  -> 
( ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  .Q  A )  <Q  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  .Q  B
)  <->  ( C  .Q  A )  <Q  ( C  .Q  B ) ) )
1312bibi2d 231 . 2  |-  ( [
<. v ,  u >. ]  ~Q  =  C  -> 
( ( A  <Q  B  <-> 
( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  .Q  A )  <Q  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  .Q  B
) )  <->  ( A  <Q  B  <->  ( C  .Q  A )  <Q  ( C  .Q  B ) ) ) )
14 mulclpi 7104 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N. )  ->  ( f  .N  g
)  e.  N. )
1514adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N. ) )  -> 
( f  .N  g
)  e.  N. )
16 simp1l 990 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  x  e.  N. )
17 simp2r 993 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  w  e.  N. )
1815, 16, 17caovcld 5892 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( x  .N  w )  e.  N. )
19 simp1r 991 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  y  e.  N. )
20 simp2l 992 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  z  e.  N. )
2115, 19, 20caovcld 5892 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( y  .N  z )  e.  N. )
22 mulclpi 7104 . . . . . . 7  |-  ( ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( v  .N  u
)  e.  N. )
23223ad2ant3 989 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( v  .N  u )  e.  N. )
24 ltmpig 7115 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  .N  w
)  e.  N.  /\  ( y  .N  z
)  e.  N.  /\  ( v  .N  u
)  e.  N. )  ->  ( ( x  .N  w )  <N  (
y  .N  z )  <-> 
( ( v  .N  u )  .N  (
x  .N  w ) )  <N  ( (
v  .N  u )  .N  ( y  .N  z ) ) ) )
2518, 21, 23, 24syl3anc 1201 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  w ) 
<N  ( y  .N  z
)  <->  ( ( v  .N  u )  .N  ( x  .N  w
) )  <N  (
( v  .N  u
)  .N  ( y  .N  z ) ) ) )
26 simp3l 994 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  v  e.  N. )
27 simp3r 995 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  u  e.  N. )
28 mulcompig 7107 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N. )  ->  ( f  .N  g
)  =  ( g  .N  f ) )
2928adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N. ) )  -> 
( f  .N  g
)  =  ( g  .N  f ) )
30 mulasspig 7108 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N.  /\  h  e.  N. )  ->  (
( f  .N  g
)  .N  h )  =  ( f  .N  ( g  .N  h
) ) )
3130adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N.  /\  h  e.  N. ) )  ->  (
( f  .N  g
)  .N  h )  =  ( f  .N  ( g  .N  h
) ) )
3226, 16, 27, 29, 31, 17, 15caov4d 5923 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
v  .N  x )  .N  ( u  .N  w ) )  =  ( ( v  .N  u )  .N  (
x  .N  w ) ) )
3327, 19, 26, 29, 31, 20, 15caov4d 5923 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
u  .N  y )  .N  ( v  .N  z ) )  =  ( ( u  .N  v )  .N  (
y  .N  z ) ) )
34 mulcompig 7107 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( u  .N  v
)  =  ( v  .N  u ) )
3534oveq1d 5757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( ( u  .N  v )  .N  (
y  .N  z ) )  =  ( ( v  .N  u )  .N  ( y  .N  z ) ) )
3635ancoms 266 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( ( u  .N  v )  .N  (
y  .N  z ) )  =  ( ( v  .N  u )  .N  ( y  .N  z ) ) )
37363ad2ant3 989 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
u  .N  v )  .N  ( y  .N  z ) )  =  ( ( v  .N  u )  .N  (
y  .N  z ) ) )
3833, 37eqtrd 2150 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
u  .N  y )  .N  ( v  .N  z ) )  =  ( ( v  .N  u )  .N  (
y  .N  z ) ) )
3932, 38breq12d 3912 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
( v  .N  x
)  .N  ( u  .N  w ) ) 
<N  ( ( u  .N  y )  .N  (
v  .N  z ) )  <->  ( ( v  .N  u )  .N  ( x  .N  w
) )  <N  (
( v  .N  u
)  .N  ( y  .N  z ) ) ) )
4025, 39bitr4d 190 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  w ) 
<N  ( y  .N  z
)  <->  ( ( v  .N  x )  .N  ( u  .N  w
) )  <N  (
( u  .N  y
)  .N  ( v  .N  z ) ) ) )
41 ordpipqqs 7150 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  ( x  .N  w )  <N  (
y  .N  z ) ) )
42413adant3 986 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  ( x  .N  w )  <N  (
y  .N  z ) ) )
4315, 26, 16caovcld 5892 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( v  .N  x )  e.  N. )
4415, 27, 19caovcld 5892 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( u  .N  y )  e.  N. )
4515, 26, 20caovcld 5892 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( v  .N  z )  e.  N. )
4615, 27, 17caovcld 5892 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( u  .N  w )  e.  N. )
47 ordpipqqs 7150 . . . . 5  |-  ( ( ( ( v  .N  x )  e.  N.  /\  ( u  .N  y
)  e.  N. )  /\  ( ( v  .N  z )  e.  N.  /\  ( u  .N  w
)  e.  N. )
)  ->  ( [ <. ( v  .N  x
) ,  ( u  .N  y ) >. ]  ~Q  <Q  [ <. (
v  .N  z ) ,  ( u  .N  w ) >. ]  ~Q  <->  ( ( v  .N  x
)  .N  ( u  .N  w ) ) 
<N  ( ( u  .N  y )  .N  (
v  .N  z ) ) ) )
4843, 44, 45, 46, 47syl22anc 1202 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. ( v  .N  x
) ,  ( u  .N  y ) >. ]  ~Q  <Q  [ <. (
v  .N  z ) ,  ( u  .N  w ) >. ]  ~Q  <->  ( ( v  .N  x
)  .N  ( u  .N  w ) ) 
<N  ( ( u  .N  y )  .N  (
v  .N  z ) ) ) )
4940, 42, 483bitr4d 219 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  [ <. (
v  .N  x ) ,  ( u  .N  y ) >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( v  .N  z ) ,  ( u  .N  w )
>. ]  ~Q  ) )
50 mulpipqqs 7149 . . . . . 6  |-  ( ( ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )
)  ->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  .Q  [ <. x ,  y >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
v  .N  x ) ,  ( u  .N  y ) >. ]  ~Q  )
5150ancoms 266 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  .Q  [ <. x ,  y >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
v  .N  x ) ,  ( u  .N  y ) >. ]  ~Q  )
52513adant2 985 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  .Q  [ <. x ,  y >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
v  .N  x ) ,  ( u  .N  y ) >. ]  ~Q  )
53 mulpipqqs 7149 . . . . . 6  |-  ( ( ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  .Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
v  .N  z ) ,  ( u  .N  w ) >. ]  ~Q  )
5453ancoms 266 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  .Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
v  .N  z ) ,  ( u  .N  w ) >. ]  ~Q  )
55543adant1 984 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  .Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
v  .N  z ) ,  ( u  .N  w ) >. ]  ~Q  )
5652, 55breq12d 3912 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  .Q  [ <. x ,  y >. ]  ~Q  )  <Q  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  .Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  <->  [ <. (
v  .N  x ) ,  ( u  .N  y ) >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( v  .N  z ) ,  ( u  .N  w )
>. ]  ~Q  ) )
5749, 56bitr4d 190 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  .Q  [ <. x ,  y >. ]  ~Q  )  <Q  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  .Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) ) )
581, 5, 9, 13, 573ecoptocl 6486 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  ( C  .Q  A )  <Q  ( C  .Q  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 947    = wceq 1316    e. wcel 1465   <.cop 3500   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742   [cec 6395   N.cnpi 7048    .N cmi 7050    <N clti 7051    ~Q ceq 7055   Q.cnq 7056    .Q cmq 7059    <Q cltq 7061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-eprel 4181  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-oadd 6285  df-omul 6286  df-er 6397  df-ec 6399  df-qs 6403  df-ni 7080  df-mi 7082  df-lti 7083  df-mpq 7121  df-enq 7123  df-nqqs 7124  df-mqqs 7126  df-ltnqqs 7129
This theorem is referenced by:  ltmnqi  7179  lt2mulnq  7181  ltaddnq  7183  prarloclemarch  7194  prarloclemarch2  7195  ltrnqg  7196  prarloclemlt  7269  addnqprllem  7303  addnqprulem  7304  appdivnq  7339  mulnqprl  7344  mulnqpru  7345  mullocprlem  7346  mulclpr  7348  distrlem4prl  7360  distrlem4pru  7361  1idprl  7366  1idpru  7367  recexprlem1ssl  7409  recexprlem1ssu  7410
  Copyright terms: Public domain W3C validator