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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > ltmnqg | Unicode version |
Description: Ordering property of multiplication for positive fractions. Proposition 9-2.6(iii) of [Gleason] p. 120. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Sep-2019.) |
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ltmnqg |
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1 | df-nqqs 6652 |
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2 | breq1 3808 |
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3 | oveq2 5571 |
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4 | 3 | breq1d 3815 |
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5 | 2, 4 | bibi12d 233 |
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6 | breq2 3809 |
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7 | oveq2 5571 |
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8 | 7 | breq2d 3817 |
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9 | 6, 8 | bibi12d 233 |
. 2
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10 | oveq1 5570 |
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11 | oveq1 5570 |
. . . 4
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12 | 10, 11 | breq12d 3818 |
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13 | 12 | bibi2d 230 |
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14 | mulclpi 6632 |
. . . . . . . 8
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15 | 14 | adantl 271 |
. . . . . . 7
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16 | simp1l 963 |
. . . . . . 7
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17 | simp2r 966 |
. . . . . . 7
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18 | 15, 16, 17 | caovcld 5705 |
. . . . . 6
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19 | simp1r 964 |
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20 | simp2l 965 |
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21 | 15, 19, 20 | caovcld 5705 |
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22 | mulclpi 6632 |
. . . . . . 7
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23 | 22 | 3ad2ant3 962 |
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24 | ltmpig 6643 |
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25 | 18, 21, 23, 24 | syl3anc 1170 |
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26 | simp3l 967 |
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27 | simp3r 968 |
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28 | mulcompig 6635 |
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29 | 28 | adantl 271 |
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30 | mulasspig 6636 |
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31 | 30 | adantl 271 |
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32 | 26, 16, 27, 29, 31, 17, 15 | caov4d 5736 |
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33 | 27, 19, 26, 29, 31, 20, 15 | caov4d 5736 |
. . . . . . 7
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34 | mulcompig 6635 |
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35 | 34 | oveq1d 5578 |
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36 | 35 | ancoms 264 |
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37 | 36 | 3ad2ant3 962 |
. . . . . . 7
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38 | 33, 37 | eqtrd 2115 |
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39 | 32, 38 | breq12d 3818 |
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40 | 25, 39 | bitr4d 189 |
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41 | ordpipqqs 6678 |
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42 | 41 | 3adant3 959 |
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43 | 15, 26, 16 | caovcld 5705 |
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44 | 15, 27, 19 | caovcld 5705 |
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45 | 15, 26, 20 | caovcld 5705 |
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46 | 15, 27, 17 | caovcld 5705 |
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47 | ordpipqqs 6678 |
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48 | 43, 44, 45, 46, 47 | syl22anc 1171 |
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49 | 40, 42, 48 | 3bitr4d 218 |
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50 | mulpipqqs 6677 |
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51 | 50 | ancoms 264 |
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52 | 51 | 3adant2 958 |
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53 | mulpipqqs 6677 |
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54 | 53 | ancoms 264 |
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55 | 54 | 3adant1 957 |
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56 | 52, 55 | breq12d 3818 |
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57 | 49, 56 | bitr4d 189 |
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58 | 1, 5, 9, 13, 57 | 3ecoptocl 6282 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-in1 577 ax-in2 578 ax-io 663 ax-5 1377 ax-7 1378 ax-gen 1379 ax-ie1 1423 ax-ie2 1424 ax-8 1436 ax-10 1437 ax-11 1438 ax-i12 1439 ax-bndl 1440 ax-4 1441 ax-13 1445 ax-14 1446 ax-17 1460 ax-i9 1464 ax-ial 1468 ax-i5r 1469 ax-ext 2065 ax-coll 3913 ax-sep 3916 ax-nul 3924 ax-pow 3968 ax-pr 3992 ax-un 4216 ax-setind 4308 ax-iinf 4357 |
This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-dc 777 df-3or 921 df-3an 922 df-tru 1288 df-fal 1291 df-nf 1391 df-sb 1688 df-eu 1946 df-mo 1947 df-clab 2070 df-cleq 2076 df-clel 2079 df-nfc 2212 df-ne 2250 df-ral 2358 df-rex 2359 df-reu 2360 df-rab 2362 df-v 2612 df-sbc 2825 df-csb 2918 df-dif 2984 df-un 2986 df-in 2988 df-ss 2995 df-nul 3268 df-pw 3402 df-sn 3422 df-pr 3423 df-op 3425 df-uni 3622 df-int 3657 df-iun 3700 df-br 3806 df-opab 3860 df-mpt 3861 df-tr 3896 df-eprel 4072 df-id 4076 df-iord 4149 df-on 4151 df-suc 4154 df-iom 4360 df-xp 4397 df-rel 4398 df-cnv 4399 df-co 4400 df-dm 4401 df-rn 4402 df-res 4403 df-ima 4404 df-iota 4917 df-fun 4954 df-fn 4955 df-f 4956 df-f1 4957 df-fo 4958 df-f1o 4959 df-fv 4960 df-ov 5566 df-oprab 5567 df-mpt2 5568 df-1st 5818 df-2nd 5819 df-recs 5974 df-irdg 6039 df-oadd 6089 df-omul 6090 df-er 6193 df-ec 6195 df-qs 6199 df-ni 6608 df-mi 6610 df-lti 6611 df-mpq 6649 df-enq 6651 df-nqqs 6652 df-mqqs 6654 df-ltnqqs 6657 |
This theorem is referenced by: ltmnqi 6707 lt2mulnq 6709 ltaddnq 6711 prarloclemarch 6722 prarloclemarch2 6723 ltrnqg 6724 prarloclemlt 6797 addnqprllem 6831 addnqprulem 6832 appdivnq 6867 mulnqprl 6872 mulnqpru 6873 mullocprlem 6874 mulclpr 6876 distrlem4prl 6888 distrlem4pru 6889 1idprl 6894 1idpru 6895 recexprlem1ssl 6937 recexprlem1ssu 6938 |
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