ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltmul12a Unicode version

Theorem ltmul12a 8005
Description: Comparison of product of two positive numbers. (Contributed by NM, 30-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
ltmul12a  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <  B ) )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <_  C  /\  C  <  D ) ) )  ->  ( A  x.  C )  <  ( B  x.  D )
)

Proof of Theorem ltmul12a
StepHypRef Expression
1 simplll 500 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D ) ) )  ->  A  e.  RR )
2 simpllr 501 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D ) ) )  ->  B  e.  RR )
3 simpll 496 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D
) )  ->  C  e.  RR )
4 simprl 498 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D
) )  ->  0  <_  C )
53, 4jca 300 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D
) )  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
65ad2ant2l 492 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D ) ) )  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
7 ltle 7265 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  A  <_  B )
)
87imp 122 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  B
)  ->  A  <_  B )
98adantrl 462 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  A  <_  B )
109ad2ant2r 493 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D ) ) )  ->  A  <_  B
)
11 lemul1a 8003 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )
)  /\  A  <_  B )  ->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  C )
)
121, 2, 6, 10, 11syl31anc 1173 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D ) ) )  ->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  C )
)
13 simplrl 502 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B ) )  ->  C  e.  RR )
14 simplrr 503 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B ) )  ->  D  e.  RR )
15 simpllr 501 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B ) )  ->  B  e.  RR )
16 0re 7181 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
17 lelttr 7266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  A  /\  A  <  B )  ->  0  <  B
) )
1816, 17mp3an1 1256 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  ->  0  <  B ) )
1918imp 122 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  0  <  B )
2019adantlr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B ) )  ->  0  <  B )
21 ltmul2 8001 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  -> 
( C  <  D  <->  ( B  x.  C )  <  ( B  x.  D ) ) )
2213, 14, 15, 20, 21syl112anc 1174 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B ) )  ->  ( C  <  D  <->  ( B  x.  C )  <  ( B  x.  D )
) )
2322biimpa 290 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B ) )  /\  C  < 
D )  ->  ( B  x.  C )  <  ( B  x.  D
) )
2423anasss 391 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  /\  C  <  D ) )  ->  ( B  x.  C )  <  ( B  x.  D
) )
2524adantrrl 470 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D ) ) )  ->  ( B  x.  C )  <  ( B  x.  D )
)
26 remulcl 7163 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  x.  C
)  e.  RR )
2726ad2ant2r 493 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  -> 
( A  x.  C
)  e.  RR )
28 remulcl 7163 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  x.  C
)  e.  RR )
2928ad2ant2lr 494 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  -> 
( B  x.  C
)  e.  RR )
30 remulcl 7163 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( B  x.  D
)  e.  RR )
3130ad2ant2l 492 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  -> 
( B  x.  D
)  e.  RR )
32 lelttr 7266 . . . . 5  |-  ( ( ( A  x.  C
)  e.  RR  /\  ( B  x.  C
)  e.  RR  /\  ( B  x.  D
)  e.  RR )  ->  ( ( ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  C )  /\  ( B  x.  C )  <  ( B  x.  D
) )  ->  ( A  x.  C )  <  ( B  x.  D
) ) )
3327, 29, 31, 32syl3anc 1170 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  -> 
( ( ( A  x.  C )  <_ 
( B  x.  C
)  /\  ( B  x.  C )  <  ( B  x.  D )
)  ->  ( A  x.  C )  <  ( B  x.  D )
) )
3433adantr 270 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  C )  /\  ( B  x.  C )  <  ( B  x.  D
) )  ->  ( A  x.  C )  <  ( B  x.  D
) ) )
3512, 25, 34mp2and 424 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D ) ) )  ->  ( A  x.  C )  <  ( B  x.  D )
)
3635an4s 553 1  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <  B ) )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <_  C  /\  C  <  D ) ) )  ->  ( A  x.  C )  <  ( B  x.  D )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    e. wcel 1434   class class class wbr 3793  (class class class)co 5543   RRcr 7042   0cc0 7043    x. cmul 7048    < clt 7215    <_ cle 7216
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155  ax-pre-mulext 7156
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749
This theorem is referenced by:  ltmul12ad  8086
  Copyright terms: Public domain W3C validator