ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltmul12a Unicode version
Theorem ltmul12a 8611
Description: Comparison of product of two positive numbers. (Contributed by NM, 30-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
ltmul12a |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> ( A x. C ) < ( B x. D ) )
Proof of Theorem ltmul12a
StepHypRef Expression
1 simplll 522 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> A e. RR )
2 simpllr 523 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> B e. RR )
3 simpll 518 . . . . . 6 |- ( ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) -> C e. RR )
4 simprl 520 . . . . . 6 |- ( ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) -> 0 <_ C )
53, 4jca 304 . . . . 5 |- ( ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) -> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
65ad2ant2l 499 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
7 ltle 7844 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
87imp 123 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < B ) -> A <_ B )
98adantrl 469 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> A <_ B )
109ad2ant2r 500 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> A <_ B )
11 lemul1a 8609 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 <_ C ) ) /\ A <_ B ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. C ) )
121, 2, 6, 10, 11syl31anc 1219 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. C ) )
13 simplrl 524 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> C e. RR )
14 simplrr 525 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> D e. RR )
15 simpllr 523 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> B e. RR )
16 0re 7759 . . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
17 lelttr 7845 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <_ A /\ A < B ) -> 0 < B ) )
1816, 17mp3an1 1302 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <_ A /\ A < B ) -> 0 < B ) )
1918imp 123 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> 0 < B )
2019adantlr 468 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> 0 < B )
21 ltmul2 8607 . . . . . . 7 |- ( ( C e. RR /\ D e. RR /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( C < D <-> ( B x. C ) < ( B x. D ) ) )
2213, 14, 15, 20, 21syl112anc 1220 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( C < D <-> ( B x. C ) < ( B x. D ) ) )
2322biimpa 294 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) /\ C < D ) -> ( B x. C ) < ( B x. D ) )
2423anasss 396 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ C < D ) ) -> ( B x. C ) < ( B x. D ) )
2524adantrrl 477 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> ( B x. C ) < ( B x. D ) )
26 remulcl 7741 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> ( A x. C ) e. RR )
2726ad2ant2r 500 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) -> ( A x. C ) e. RR )
28 remulcl 7741 . . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B x. C ) e. RR )
2928ad2ant2lr 501 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) -> ( B x. C ) e. RR )
30 remulcl 7741 . . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ D e. RR ) -> ( B x. D ) e. RR )
3130ad2ant2l 499 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) -> ( B x. D ) e. RR )
32 lelttr 7845 . . . . 5 |- ( ( ( A x. C ) e. RR /\ ( B x. C ) e. RR /\ ( B x. D ) e. RR ) -> ( ( ( A x. C ) <_ ( B x. C ) /\ ( B x. C ) < ( B x. D ) ) -> ( A x. C ) < ( B x. D ) ) )
3327, 29, 31, 32syl3anc 1216 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) -> ( ( ( A x. C ) <_ ( B x. C ) /\ ( B x. C ) < ( B x. D ) ) -> ( A x. C ) < ( B x. D ) ) )
3433adantr 274 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> ( ( ( A x. C ) <_ ( B x. C ) /\ ( B x. C ) < ( B x. D ) ) -> ( A x. C ) < ( B x. D ) ) )
3512, 25, 34mp2and 429 . 2 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> ( A x. C ) < ( B x. D ) )
3635an4s 577 1 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> ( A x. C ) < ( B x. D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   RRcr 7612   0cc0 7613   x. cmul 7618   < clt 7793   <_ cle 7794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337
This theorem is referenced by:  ltmul12ad  8692
  Copyright terms: Public domain W3C validator