ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltmulgt11 Unicode version

Theorem ltmulgt11 7905
Description: Multiplication by a number greater than 1. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
ltmulgt11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  (
1  <  B  <->  A  <  ( A  x.  B ) ) )

Proof of Theorem ltmulgt11
StepHypRef Expression
1 1re 7084 . . . . 5  |-  1  e.  RR
2 ltmul2 7897 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  -> 
( 1  <  B  <->  ( A  x.  1 )  <  ( A  x.  B ) ) )
31, 2mp3an1 1230 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  ->  ( 1  <  B  <->  ( A  x.  1 )  <  ( A  x.  B )
) )
433impb 1111 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  (
1  <  B  <->  ( A  x.  1 )  <  ( A  x.  B )
) )
543com12 1119 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  (
1  <  B  <->  ( A  x.  1 )  <  ( A  x.  B )
) )
6 ax-1rid 7049 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
763ad2ant1 936 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
87breq1d 3802 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  (
( A  x.  1 )  <  ( A  x.  B )  <->  A  <  ( A  x.  B ) ) )
95, 8bitrd 181 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  (
1  <  B  <->  A  <  ( A  x.  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    /\ w3a 896    = wceq 1259    e. wcel 1409   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540   RRcr 6946   0cc0 6947   1c1 6948    x. cmul 6952    < clt 7119
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-ltxr 7124  df-sub 7247  df-neg 7248
This theorem is referenced by:  ltmulgt12  7906  ltmulgt11d  8756
  Copyright terms: Public domain W3C validator