ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltnqpr Unicode version

Theorem ltnqpr 7369
Description: We can order fractions via  <Q or  <P. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
ltnqpr  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >. )
)
Distinct variable groups:    A, l    u, A    B, l    u, B

Proof of Theorem ltnqpr
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqprlu 7323 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >.  e.  P. )
2 nqprlu 7323 . . . 4  |-  ( B  e.  Q.  ->  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >.  e.  P. )
3 ltdfpr 7282 . . . 4  |-  ( (
<. { l  |  l 
<Q  A } ,  {
u  |  A  <Q  u } >.  e.  P.  /\ 
<. { l  |  l 
<Q  B } ,  {
u  |  B  <Q  u } >.  e.  P. )  ->  ( <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >.  <->  E. x  e.  Q.  ( x  e.  ( 2nd `  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >. )  /\  x  e.  ( 1st `  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >. ) ) ) )
41, 2, 3syl2an 287 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >.  <->  E. x  e.  Q.  ( x  e.  ( 2nd `  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >. )  /\  x  e.  ( 1st `  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >. ) ) ) )
5 vex 2663 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
6 breq2 3903 . . . . . 6  |-  ( u  =  x  ->  ( A  <Q  u  <->  A  <Q  x ) )
7 ltnqex 7325 . . . . . . 7  |-  { l  |  l  <Q  A }  e.  _V
8 gtnqex 7326 . . . . . . 7  |-  { u  |  A  <Q  u }  e.  _V
97, 8op2nd 6013 . . . . . 6  |-  ( 2nd `  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >. )  =  { u  |  A  <Q  u }
105, 6, 9elab2 2805 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 2nd `  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >. )  <->  A  <Q  x )
11 breq1 3902 . . . . . 6  |-  ( l  =  x  ->  (
l  <Q  B  <->  x  <Q  B ) )
12 ltnqex 7325 . . . . . . 7  |-  { l  |  l  <Q  B }  e.  _V
13 gtnqex 7326 . . . . . . 7  |-  { u  |  B  <Q  u }  e.  _V
1412, 13op1st 6012 . . . . . 6  |-  ( 1st `  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >. )  =  { l  |  l 
<Q  B }
155, 11, 14elab2 2805 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 1st `  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >. )  <->  x  <Q  B )
1610, 15anbi12i 455 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 2nd `  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >. )  /\  x  e.  ( 1st `  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >. )
)  <->  ( A  <Q  x  /\  x  <Q  B ) )
1716rexbii 2419 . . 3  |-  ( E. x  e.  Q.  (
x  e.  ( 2nd `  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >. )  /\  x  e.  ( 1st `  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >. )
)  <->  E. x  e.  Q.  ( A  <Q  x  /\  x  <Q  B ) )
184, 17syl6bb 195 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >.  <->  E. x  e.  Q.  ( A  <Q  x  /\  x  <Q  B ) ) )
19 ltbtwnnqq 7191 . 2  |-  ( A 
<Q  B  <->  E. x  e.  Q.  ( A  <Q  x  /\  x  <Q  B ) )
2018, 19syl6rbbr 198 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >. )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1465   {cab 2103   E.wrex 2394   <.cop 3500   class class class wbr 3899   ` cfv 5093   1stc1st 6004   2ndc2nd 6005   Q.cnq 7056    <Q cltq 7061   P.cnp 7067    <P cltp 7071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-eprel 4181  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-1o 6281  df-oadd 6285  df-omul 6286  df-er 6397  df-ec 6399  df-qs 6403  df-ni 7080  df-pli 7081  df-mi 7082  df-lti 7083  df-plpq 7120  df-mpq 7121  df-enq 7123  df-nqqs 7124  df-plqqs 7125  df-mqqs 7126  df-1nqqs 7127  df-rq 7128  df-ltnqqs 7129  df-inp 7242  df-iltp 7246
This theorem is referenced by:  prplnqu  7396  ltrennb  7630
  Copyright terms: Public domain W3C validator