ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltnqpr Unicode version

Theorem ltnqpr 6834
Description: We can order fractions via  <Q or  <P. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
ltnqpr  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >. )
)
Distinct variable groups:    A, l    u, A    B, l    u, B

Proof of Theorem ltnqpr
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqprlu 6788 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >.  e.  P. )
2 nqprlu 6788 . . . 4  |-  ( B  e.  Q.  ->  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >.  e.  P. )
3 ltdfpr 6747 . . . 4  |-  ( (
<. { l  |  l 
<Q  A } ,  {
u  |  A  <Q  u } >.  e.  P.  /\ 
<. { l  |  l 
<Q  B } ,  {
u  |  B  <Q  u } >.  e.  P. )  ->  ( <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >.  <->  E. x  e.  Q.  ( x  e.  ( 2nd `  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >. )  /\  x  e.  ( 1st `  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >. ) ) ) )
41, 2, 3syl2an 283 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >.  <->  E. x  e.  Q.  ( x  e.  ( 2nd `  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >. )  /\  x  e.  ( 1st `  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >. ) ) ) )
5 vex 2605 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
6 breq2 3791 . . . . . 6  |-  ( u  =  x  ->  ( A  <Q  u  <->  A  <Q  x ) )
7 ltnqex 6790 . . . . . . 7  |-  { l  |  l  <Q  A }  e.  _V
8 gtnqex 6791 . . . . . . 7  |-  { u  |  A  <Q  u }  e.  _V
97, 8op2nd 5799 . . . . . 6  |-  ( 2nd `  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >. )  =  { u  |  A  <Q  u }
105, 6, 9elab2 2742 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 2nd `  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >. )  <->  A  <Q  x )
11 breq1 3790 . . . . . 6  |-  ( l  =  x  ->  (
l  <Q  B  <->  x  <Q  B ) )
12 ltnqex 6790 . . . . . . 7  |-  { l  |  l  <Q  B }  e.  _V
13 gtnqex 6791 . . . . . . 7  |-  { u  |  B  <Q  u }  e.  _V
1412, 13op1st 5798 . . . . . 6  |-  ( 1st `  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >. )  =  { l  |  l 
<Q  B }
155, 11, 14elab2 2742 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 1st `  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >. )  <->  x  <Q  B )
1610, 15anbi12i 448 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 2nd `  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >. )  /\  x  e.  ( 1st `  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >. )
)  <->  ( A  <Q  x  /\  x  <Q  B ) )
1716rexbii 2374 . . 3  |-  ( E. x  e.  Q.  (
x  e.  ( 2nd `  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >. )  /\  x  e.  ( 1st `  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >. )
)  <->  E. x  e.  Q.  ( A  <Q  x  /\  x  <Q  B ) )
184, 17syl6bb 194 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >.  <->  E. x  e.  Q.  ( A  <Q  x  /\  x  <Q  B ) ) )
19 ltbtwnnqq 6656 . 2  |-  ( A 
<Q  B  <->  E. x  e.  Q.  ( A  <Q  x  /\  x  <Q  B ) )
2018, 19syl6rbbr 197 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >. )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    e. wcel 1434   {cab 2068   E.wrex 2350   <.cop 3403   class class class wbr 3787   ` cfv 4926   1stc1st 5790   2ndc2nd 5791   Q.cnq 6521    <Q cltq 6526   P.cnp 6532    <P cltp 6536
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3895  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-iinf 4331
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-tr 3878  df-eprel 4046  df-id 4050  df-po 4053  df-iso 4054  df-iord 4123  df-on 4125  df-suc 4128  df-iom 4334  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-f1 4931  df-fo 4932  df-f1o 4933  df-fv 4934  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 6013  df-1o 6059  df-oadd 6063  df-omul 6064  df-er 6165  df-ec 6167  df-qs 6171  df-ni 6545  df-pli 6546  df-mi 6547  df-lti 6548  df-plpq 6585  df-mpq 6586  df-enq 6588  df-nqqs 6589  df-plqqs 6590  df-mqqs 6591  df-1nqqs 6592  df-rq 6593  df-ltnqqs 6594  df-inp 6707  df-iltp 6711
This theorem is referenced by:  prplnqu  6861  ltrennb  7073
  Copyright terms: Public domain W3C validator