Theorem ltnqpri 7395

Description: We can order fractions via <Q or <P. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ltnqpri	|- ( A <Q B -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. )

Distinct variable groups:   A, l   u, A   B, l   u, B

Proof of Theorem ltnqpri

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 7166	. . . . . . . 8 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
2	1	brel 4586	. . . . . . 7 |- ( A <Q B -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
3	2	simpld 111	. . . . . 6 |- ( A <Q B -> A e. Q. )
4		nqprlu 7348	. . . . . 6 |- ( A e. Q. -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. )
5	3, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( A <Q B -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. )
6	2	simprd 113	. . . . . 6 |- ( A <Q B -> B e. Q. )
7		nqprlu 7348	. . . . . 6 |- ( B e. Q. -> <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. e. P. )
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( A <Q B -> <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. e. P. )
9		ltdfpr 7307	. . . . 5 |- ( ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. /\ <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. e. P. ) -> ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. <-> E. x e. Q. ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) /\ x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) ) ) )
10	5, 8, 9	syl2anc 408	. . . 4 |- ( A <Q B -> ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. <-> E. x e. Q. ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) /\ x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) ) ) )
11		vex 2684	. . . . . . 7 |- x e. _V
12		breq2 3928	. . . . . . 7 |- ( u = x -> ( A <Q u <-> A <Q x ) )
13		ltnqex 7350	. . . . . . . 8 |- { l | l <Q A } e. _V
14		gtnqex 7351	. . . . . . . 8 |- { u | A <Q u } e. _V
15	13, 14	op2nd 6038	. . . . . . 7 |- ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) = { u | A <Q u }
16	11, 12, 15	elab2 2827	. . . . . 6 |- ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) <-> A <Q x )
17		breq1 3927	. . . . . . 7 |- ( l = x -> ( l <Q B <-> x <Q B ) )
18		ltnqex 7350	. . . . . . . 8 |- { l | l <Q B } e. _V
19		gtnqex 7351	. . . . . . . 8 |- { u | B <Q u } e. _V
20	18, 19	op1st 6037	. . . . . . 7 |- ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) = { l | l <Q B }
21	11, 17, 20	elab2 2827	. . . . . 6 |- ( x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) <-> x <Q B )
22	16, 21	anbi12i 455	. . . . 5 |- ( ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) /\ x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) ) <-> ( A <Q x /\ x <Q B ) )
23	22	rexbii 2440	. . . 4 |- ( E. x e. Q. ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) /\ x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) ) <-> E. x e. Q. ( A <Q x /\ x <Q B ) )
24	10, 23	syl6bb 195	. . 3 |- ( A <Q B -> ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. <-> E. x e. Q. ( A <Q x /\ x <Q B ) ) )
25		ltbtwnnqq 7216	. . 3 |- ( A <Q B <-> E. x e. Q. ( A <Q x /\ x <Q B ) )
26	24, 25	syl6bbr 197	. 2 |- ( A <Q B -> ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. <-> A <Q B ) )
27	26	ibir 176	1 |- ( A <Q B -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1480   {cab 2123   E.wrex 2415   <.cop 3525   class class class wbr 3924   ` cfv 5118   1stc1st 6029   2ndc2nd 6030   Q.cnq 7081   <Q cltq 7086   P.cnp 7092   <P cltp 7096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-eprel 4206  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-1o 6306  df-oadd 6310  df-omul 6311  df-er 6422  df-ec 6424  df-qs 6428  df-ni 7105  df-pli 7106  df-mi 7107  df-lti 7108  df-plpq 7145  df-mpq 7146  df-enq 7148  df-nqqs 7149  df-plqqs 7150  df-mqqs 7151  df-1nqqs 7152  df-rq 7153  df-ltnqqs 7154  df-inp 7267  df-iltp 7271

This theorem is referenced by:  caucvgprprlemk  7484  caucvgprprlemloccalc  7485  caucvgprprlemnjltk  7492  caucvgprprlemlol  7499  caucvgprprlemupu  7501  suplocexprlemloc  7522