ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltnqpri Unicode version

Theorem ltnqpri 6846
Description: We can order fractions via  <Q or  <P. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
ltnqpri  |-  ( A 
<Q  B  ->  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >. )
Distinct variable groups:    A, l    u, A    B, l    u, B

Proof of Theorem ltnqpri
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 6617 . . . . . . . 8  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
21brel 4418 . . . . . . 7  |-  ( A 
<Q  B  ->  ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. ) )
32simpld 110 . . . . . 6  |-  ( A 
<Q  B  ->  A  e. 
Q. )
4 nqprlu 6799 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Q.  ->  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >.  e.  P. )
53, 4syl 14 . . . . 5  |-  ( A 
<Q  B  ->  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >.  e.  P. )
62simprd 112 . . . . . 6  |-  ( A 
<Q  B  ->  B  e. 
Q. )
7 nqprlu 6799 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Q.  ->  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >.  e.  P. )
86, 7syl 14 . . . . 5  |-  ( A 
<Q  B  ->  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >.  e.  P. )
9 ltdfpr 6758 . . . . 5  |-  ( (
<. { l  |  l 
<Q  A } ,  {
u  |  A  <Q  u } >.  e.  P.  /\ 
<. { l  |  l 
<Q  B } ,  {
u  |  B  <Q  u } >.  e.  P. )  ->  ( <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >.  <->  E. x  e.  Q.  ( x  e.  ( 2nd `  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >. )  /\  x  e.  ( 1st `  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >. ) ) ) )
105, 8, 9syl2anc 403 . . . 4  |-  ( A 
<Q  B  ->  ( <. { l  |  l 
<Q  A } ,  {
u  |  A  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >.  <->  E. x  e.  Q.  ( x  e.  ( 2nd `  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >. )  /\  x  e.  ( 1st `  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >. ) ) ) )
11 vex 2605 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
12 breq2 3797 . . . . . . 7  |-  ( u  =  x  ->  ( A  <Q  u  <->  A  <Q  x ) )
13 ltnqex 6801 . . . . . . . 8  |-  { l  |  l  <Q  A }  e.  _V
14 gtnqex 6802 . . . . . . . 8  |-  { u  |  A  <Q  u }  e.  _V
1513, 14op2nd 5805 . . . . . . 7  |-  ( 2nd `  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >. )  =  { u  |  A  <Q  u }
1611, 12, 15elab2 2742 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 2nd `  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >. )  <->  A  <Q  x )
17 breq1 3796 . . . . . . 7  |-  ( l  =  x  ->  (
l  <Q  B  <->  x  <Q  B ) )
18 ltnqex 6801 . . . . . . . 8  |-  { l  |  l  <Q  B }  e.  _V
19 gtnqex 6802 . . . . . . . 8  |-  { u  |  B  <Q  u }  e.  _V
2018, 19op1st 5804 . . . . . . 7  |-  ( 1st `  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >. )  =  { l  |  l 
<Q  B }
2111, 17, 20elab2 2742 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 1st `  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >. )  <->  x  <Q  B )
2216, 21anbi12i 448 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 2nd `  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >. )  /\  x  e.  ( 1st `  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >. )
)  <->  ( A  <Q  x  /\  x  <Q  B ) )
2322rexbii 2374 . . . 4  |-  ( E. x  e.  Q.  (
x  e.  ( 2nd `  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >. )  /\  x  e.  ( 1st `  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >. )
)  <->  E. x  e.  Q.  ( A  <Q  x  /\  x  <Q  B ) )
2410, 23syl6bb 194 . . 3  |-  ( A 
<Q  B  ->  ( <. { l  |  l 
<Q  A } ,  {
u  |  A  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >.  <->  E. x  e.  Q.  ( A  <Q  x  /\  x  <Q  B ) ) )
25 ltbtwnnqq 6667 . . 3  |-  ( A 
<Q  B  <->  E. x  e.  Q.  ( A  <Q  x  /\  x  <Q  B ) )
2624, 25syl6bbr 196 . 2  |-  ( A 
<Q  B  ->  ( <. { l  |  l 
<Q  A } ,  {
u  |  A  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >.  <->  A  <Q  B ) )
2726ibir 175 1  |-  ( A 
<Q  B  ->  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    e. wcel 1434   {cab 2068   E.wrex 2350   <.cop 3409   class class class wbr 3793   ` cfv 4932   1stc1st 5796   2ndc2nd 5797   Q.cnq 6532    <Q cltq 6537   P.cnp 6543    <P cltp 6547
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-eprel 4052  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-1o 6065  df-oadd 6069  df-omul 6070  df-er 6172  df-ec 6174  df-qs 6178  df-ni 6556  df-pli 6557  df-mi 6558  df-lti 6559  df-plpq 6596  df-mpq 6597  df-enq 6599  df-nqqs 6600  df-plqqs 6601  df-mqqs 6602  df-1nqqs 6603  df-rq 6604  df-ltnqqs 6605  df-inp 6718  df-iltp 6722
This theorem is referenced by:  caucvgprprlemk  6935  caucvgprprlemloccalc  6936  caucvgprprlemnjltk  6943  caucvgprprlemlol  6950  caucvgprprlemupu  6952
  Copyright terms: Public domain W3C validator