ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltnsym Unicode version

Theorem ltnsym 7300
Description: 'Less than' is not symmetric. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
ltnsym  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  -.  B  <  A
) )

Proof of Theorem ltnsym
StepHypRef Expression
1 lttr 7288 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <  A )  ->  A  <  A
) )
213anidm13 1228 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  < 
B  /\  B  <  A )  ->  A  <  A ) )
32expd 254 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  ( B  <  A  ->  A  <  A ) ) )
4 ltnr 7291 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  -.  A  <  A )
54adantr 270 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  -.  A  <  A
)
6 con3 604 . 2  |-  ( ( B  <  A  ->  A  <  A )  -> 
( -.  A  < 
A  ->  -.  B  <  A ) )
73, 5, 6syl6ci 1375 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  -.  B  <  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    e. wcel 1434   class class class wbr 3806   RRcr 7078    < clt 7251
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-cnex 7165  ax-resscn 7166  ax-pre-ltirr 7186  ax-pre-lttrn 7188
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2612  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-br 3807  df-opab 3861  df-xp 4398  df-pnf 7253  df-mnf 7254  df-ltxr 7256
This theorem is referenced by:  ltle  7301  ltnsymi  7313  elnnz  8478  zdclt  8542  xrltnsym  8980
  Copyright terms: Public domain W3C validator