Theorem ltposr 7571

Description: Signed real 'less than' is a partial order. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltposr	|- <R Po R.

Proof of Theorem ltposr

Dummy variables x y f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 7535	. . . . 5 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
2		id 19	. . . . . . 7 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = f -> [ <. x , y >. ] ~R = f )
3	2, 2	breq12d 3942	. . . . . 6 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = f -> ( [ <. x , y >. ] ~R <R [ <. x , y >. ] ~R <-> f <R f ) )
4	3	notbid 656	. . . . 5 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = f -> ( -. [ <. x , y >. ] ~R <R [ <. x , y >. ] ~R <-> -. f <R f ) )
5		ltsopr 7404	. . . . . . . 8 |- <P Or P.
6		ltrelpr 7313	. . . . . . . 8 |- <P C_ ( P. X. P. )
7	5, 6	soirri 4933	. . . . . . 7 |- -. ( x +P. y ) <P ( x +P. y )
8		addcomprg 7386	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( x +P. y ) = ( y +P. x ) )
9	8	breq2d 3941	. . . . . . 7 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( ( x +P. y ) <P ( x +P. y ) <-> ( x +P. y ) <P ( y +P. x ) ) )
10	7, 9	mtbii 663	. . . . . 6 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> -. ( x +P. y ) <P ( y +P. x ) )
11		ltsrprg 7555	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( x e. P. /\ y e. P. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R <R [ <. x , y >. ] ~R <-> ( x +P. y ) <P ( y +P. x ) ) )
12	11	anidms 394	. . . . . 6 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R <R [ <. x , y >. ] ~R <-> ( x +P. y ) <P ( y +P. x ) ) )
13	10, 12	mtbird 662	. . . . 5 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> -. [ <. x , y >. ] ~R <R [ <. x , y >. ] ~R )
14	1, 4, 13	ecoptocl 6516	. . . 4 |- ( f e. R. -> -. f <R f )
15	14	adantl 275	. . 3 |- ( ( T. /\ f e. R. ) -> -. f <R f )
16		lttrsr 7570	. . . 4 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( ( f <R g /\ g <R h ) -> f <R h ) )
17	16	adantl 275	. . 3 |- ( ( T. /\ ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) ) -> ( ( f <R g /\ g <R h ) -> f <R h ) )
18	15, 17	ispod 4226	. 2 |- ( T. -> <R Po R. )
19	18	mptru 1340	1 |- <R Po R.

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   T. wtru 1332   e. wcel 1480   <.cop 3530   class class class wbr 3929   Po wpo 4216  (class class class)co 5774   [cec 6427   P.cnp 7099   +P. cpp 7101   <P cltp 7103   ~R cer 7104   R.cnr 7105   <R cltr 7111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-2o 6314  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7112  df-pli 7113  df-mi 7114  df-lti 7115  df-plpq 7152  df-mpq 7153  df-enq 7155  df-nqqs 7156  df-plqqs 7157  df-mqqs 7158  df-1nqqs 7159  df-rq 7160  df-ltnqqs 7161  df-enq0 7232  df-nq0 7233  df-0nq0 7234  df-plq0 7235  df-mq0 7236  df-inp 7274  df-iplp 7276  df-iltp 7278  df-enr 7534  df-nr 7535  df-ltr 7538

This theorem is referenced by:  ltsosr  7572