ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltposr Unicode version

Theorem ltposr 6991
Description: Signed real 'less than' is a partial order. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltposr  |-  <R  Po  R.

Proof of Theorem ltposr
Dummy variables  x  y  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 6955 . . . . 5  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
2 id 19 . . . . . . 7  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~R  =  f  ->  [ <. x ,  y
>. ]  ~R  =  f )
32, 2breq12d 3800 . . . . . 6  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~R  =  f  -> 
( [ <. x ,  y >. ]  ~R  <R  [ <. x ,  y
>. ]  ~R  <->  f  <R  f ) )
43notbid 625 . . . . 5  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~R  =  f  -> 
( -.  [ <. x ,  y >. ]  ~R  <R  [ <. x ,  y
>. ]  ~R  <->  -.  f  <R  f ) )
5 ltsopr 6837 . . . . . . . 8  |-  <P  Or  P.
6 ltrelpr 6746 . . . . . . . 8  |-  <P  C_  ( P.  X.  P. )
75, 6soirri 4743 . . . . . . 7  |-  -.  (
x  +P.  y )  <P  ( x  +P.  y
)
8 addcomprg 6819 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( x  +P.  y
)  =  ( y  +P.  x ) )
98breq2d 3799 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( ( x  +P.  y )  <P  (
x  +P.  y )  <->  ( x  +P.  y ) 
<P  ( y  +P.  x
) ) )
107, 9mtbii 632 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  -.  ( x  +P.  y )  <P  (
y  +P.  x )
)
11 ltsrprg 6975 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  <R  [ <. x ,  y >. ]  ~R  <->  ( x  +P.  y ) 
<P  ( y  +P.  x
) ) )
1211anidms 389 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  <R  [ <. x ,  y
>. ]  ~R  <->  ( x  +P.  y )  <P  (
y  +P.  x )
) )
1310, 12mtbird 631 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  -.  [ <. x ,  y >. ]  ~R  <R  [ <. x ,  y
>. ]  ~R  )
141, 4, 13ecoptocl 6252 . . . 4  |-  ( f  e.  R.  ->  -.  f  <R  f )
1514adantl 271 . . 3  |-  ( ( T.  /\  f  e. 
R. )  ->  -.  f  <R  f )
16 lttrsr 6990 . . . 4  |-  ( ( f  e.  R.  /\  g  e.  R.  /\  h  e.  R. )  ->  (
( f  <R  g  /\  g  <R  h )  ->  f  <R  h
) )
1716adantl 271 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( f  e.  R.  /\  g  e.  R.  /\  h  e. 
R. ) )  -> 
( ( f  <R 
g  /\  g  <R  h )  ->  f  <R  h ) )
1815, 17ispod 4061 . 2  |-  ( T. 
->  <R  Po  R. )
1918trud 1294 1  |-  <R  Po  R.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 920    = wceq 1285   T. wtru 1286    e. wcel 1434   <.cop 3403   class class class wbr 3787    Po wpo 4051  (class class class)co 5537   [cec 6163   P.cnp 6532    +P. cpp 6534    <P cltp 6536    ~R cer 6537   R.cnr 6538    <R cltr 6544
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3895  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-iinf 4331
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-tr 3878  df-eprel 4046  df-id 4050  df-po 4053  df-iso 4054  df-iord 4123  df-on 4125  df-suc 4128  df-iom 4334  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-f1 4931  df-fo 4932  df-f1o 4933  df-fv 4934  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 6013  df-1o 6059  df-2o 6060  df-oadd 6063  df-omul 6064  df-er 6165  df-ec 6167  df-qs 6171  df-ni 6545  df-pli 6546  df-mi 6547  df-lti 6548  df-plpq 6585  df-mpq 6586  df-enq 6588  df-nqqs 6589  df-plqqs 6590  df-mqqs 6591  df-1nqqs 6592  df-rq 6593  df-ltnqqs 6594  df-enq0 6665  df-nq0 6666  df-0nq0 6667  df-plq0 6668  df-mq0 6669  df-inp 6707  df-iplp 6709  df-iltp 6711  df-enr 6954  df-nr 6955  df-ltr 6958
This theorem is referenced by:  ltsosr  6992
  Copyright terms: Public domain W3C validator