ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltrelnq Unicode version

Theorem ltrelnq 6617
Description: Positive fraction 'less than' is a relation on positive fractions. (Contributed by NM, 14-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2013.)
Assertion
Ref Expression
ltrelnq  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )

Proof of Theorem ltrelnq
Dummy variables  x  y  z  w  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ltnqqs 6605 . 2  |-  <Q  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  /\  y  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )  /\  ( z  .N  u
)  <N  ( w  .N  v ) ) ) }
2 opabssxp 4440 . 2  |-  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  /\  y  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )  /\  ( z  .N  u
)  <N  ( w  .N  v ) ) ) }  C_  ( Q.  X.  Q. )
31, 2eqsstri 3030 1  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434    C_ wss 2974   <.cop 3409   class class class wbr 3793   {copab 3846    X. cxp 4369  (class class class)co 5543   [cec 6170    .N cmi 6526    <N clti 6527    ~Q ceq 6531   Q.cnq 6532    <Q cltq 6537
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-in 2980  df-ss 2987  df-opab 3848  df-xp 4377  df-ltnqqs 6605
This theorem is referenced by:  ltanqi  6654  ltmnqi  6655  lt2addnq  6656  lt2mulnq  6657  ltexnqi  6661  ltbtwnnqq  6667  ltbtwnnq  6668  prarloclemarch2  6671  ltrnqi  6673  prcdnql  6736  prcunqu  6737  prnmaxl  6740  prnminu  6741  prloc  6743  prarloclemcalc  6754  genplt2i  6762  genpcdl  6771  genpcuu  6772  genpdisj  6775  addnqprllem  6779  addnqprulem  6780  addlocprlemlt  6783  addlocprlemeq  6785  addlocprlemgt  6786  addlocprlem  6787  nqprdisj  6796  nqprloc  6797  nqprxx  6798  ltnqex  6801  gtnqex  6802  addnqprlemrl  6809  addnqprlemru  6810  addnqprlemfl  6811  addnqprlemfu  6812  appdivnq  6815  prmuloclemcalc  6817  prmuloc  6818  mulnqprlemrl  6825  mulnqprlemru  6826  mulnqprlemfl  6827  mulnqprlemfu  6828  1idprl  6842  1idpru  6843  ltnqpri  6846  ltsopr  6848  ltexprlemopl  6853  ltexprlemopu  6855  ltexprlemdisj  6858  ltexprlemloc  6859  ltexprlemfl  6861  ltexprlemru  6864  recexprlemell  6874  recexprlemelu  6875  recexprlemlol  6878  recexprlemupu  6880  recexprlemdisj  6882  recexprlemloc  6883  recexprlempr  6884  recexprlem1ssl  6885  recexprlem1ssu  6886  recexprlemss1l  6887  recexprlemss1u  6888  cauappcvgprlemm  6897  cauappcvgprlemopl  6898  cauappcvgprlemlol  6899  cauappcvgprlemupu  6901  cauappcvgprlemladdfu  6906  cauappcvgprlemladdfl  6907  caucvgprlemk  6917  caucvgprlemnkj  6918  caucvgprlemnbj  6919  caucvgprlemm  6920  caucvgprlemopl  6921  caucvgprlemlol  6922  caucvgprlemupu  6924  caucvgprlemloc  6927  caucvgprlemladdfu  6929  caucvgprprlemloccalc  6936  caucvgprprlemml  6946  caucvgprprlemopl  6949  caucvgprprlemlol  6950  caucvgprprlemupu  6952  caucvgprprlemloc  6955
  Copyright terms: Public domain W3C validator