ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltresr Unicode version

Theorem ltresr 7058
Description: Ordering of real subset of complex numbers in terms of signed reals. (Contributed by NM, 22-Feb-1996.)
Assertion
Ref Expression
ltresr  |-  ( <. A ,  0R >.  <RR  <. B ,  0R >. 
<->  A  <R  B )

Proof of Theorem ltresr
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelre 7052 . . . 4  |-  <RR  C_  ( RR  X.  RR )
21brel 4412 . . 3  |-  ( <. A ,  0R >.  <RR  <. B ,  0R >.  ->  ( <. A ,  0R >.  e.  RR  /\ 
<. B ,  0R >.  e.  RR ) )
3 opelreal 7047 . . . 4  |-  ( <. A ,  0R >.  e.  RR  <->  A  e.  R. )
4 opelreal 7047 . . . 4  |-  ( <. B ,  0R >.  e.  RR  <->  B  e.  R. )
53, 4anbi12i 448 . . 3  |-  ( (
<. A ,  0R >.  e.  RR  /\  <. B ,  0R >.  e.  RR )  <-> 
( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )
)
62, 5sylib 120 . 2  |-  ( <. A ,  0R >.  <RR  <. B ,  0R >.  ->  ( A  e.  R.  /\  B  e. 
R. ) )
7 ltrelsr 6966 . . 3  |-  <R  C_  ( R.  X.  R. )
87brel 4412 . 2  |-  ( A 
<R  B  ->  ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. ) )
9 eleq1 2142 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  <. A ,  0R >.  ->  ( x  e.  RR  <->  <. A ,  0R >.  e.  RR ) )
109anbi1d 453 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  <. A ,  0R >.  ->  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  <->  ( <. A ,  0R >.  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
11 eqeq1 2088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  <. A ,  0R >.  ->  ( x  = 
<. z ,  0R >.  <->  <. A ,  0R >.  =  <. z ,  0R >. )
)
1211anbi1d 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  <. A ,  0R >.  ->  ( ( x  =  <. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  <->  (
<. A ,  0R >.  = 
<. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. ) ) )
1312anbi1d 453 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  <. A ,  0R >.  ->  ( ( ( x  =  <. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  /\  z  <R  w )  <->  ( ( <. A ,  0R >.  = 
<. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  /\  z  <R  w ) ) )
14132exbidv 1790 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  <. A ,  0R >.  ->  ( E. z E. w ( ( x  =  <. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  /\  z  <R  w )  <->  E. z E. w ( ( <. A ,  0R >.  =  <. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  /\  z  <R  w ) ) )
1510, 14anbi12d 457 . . . . . . 7  |-  ( x  =  <. A ,  0R >.  ->  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  E. z E. w
( ( x  = 
<. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  /\  z  <R  w ) )  <->  ( ( <. A ,  0R >.  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  E. z E. w ( (
<. A ,  0R >.  = 
<. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  /\  z  <R  w ) ) ) )
16 eleq1 2142 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  <. B ,  0R >.  ->  ( y  e.  RR  <->  <. B ,  0R >.  e.  RR ) )
1716anbi2d 452 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  <. B ,  0R >.  ->  ( ( <. A ,  0R >.  e.  RR  /\  y  e.  RR )  <-> 
( <. A ,  0R >.  e.  RR  /\  <. B ,  0R >.  e.  RR ) ) )
18 eqeq1 2088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  <. B ,  0R >.  ->  ( y  = 
<. w ,  0R >.  <->  <. B ,  0R >.  =  <. w ,  0R >. )
)
1918anbi2d 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  <. B ,  0R >.  ->  ( ( <. A ,  0R >.  =  <. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  <->  ( <. A ,  0R >.  =  <. z ,  0R >.  /\  <. B ,  0R >.  =  <. w ,  0R >. ) ) )
2019anbi1d 453 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  <. B ,  0R >.  ->  ( ( (
<. A ,  0R >.  = 
<. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  /\  z  <R  w )  <->  ( ( <. A ,  0R >.  = 
<. z ,  0R >.  /\ 
<. B ,  0R >.  = 
<. w ,  0R >. )  /\  z  <R  w
) ) )
21202exbidv 1790 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  <. B ,  0R >.  ->  ( E. z E. w ( ( <. A ,  0R >.  =  <. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  /\  z  <R  w )  <->  E. z E. w ( ( <. A ,  0R >.  =  <. z ,  0R >.  /\  <. B ,  0R >.  =  <. w ,  0R >. )  /\  z  <R  w ) ) )
2217, 21anbi12d 457 . . . . . . 7  |-  ( y  =  <. B ,  0R >.  ->  ( ( (
<. A ,  0R >.  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  E. z E. w ( (
<. A ,  0R >.  = 
<. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  /\  z  <R  w ) )  <->  ( ( <. A ,  0R >.  e.  RR  /\  <. B ,  0R >.  e.  RR )  /\  E. z E. w ( ( <. A ,  0R >.  =  <. z ,  0R >.  /\  <. B ,  0R >.  =  <. w ,  0R >. )  /\  z  <R  w ) ) ) )
23 df-lt 7045 . . . . . . 7  |-  <RR  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  E. z E. w ( ( x  =  <. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  /\  z  <R  w ) ) }
2415, 22, 23brabg 4026 . . . . . 6  |-  ( (
<. A ,  0R >.  e.  RR  /\  <. B ,  0R >.  e.  RR )  ->  ( <. A ,  0R >.  <RR  <. B ,  0R >.  <-> 
( ( <. A ,  0R >.  e.  RR  /\  <. B ,  0R >.  e.  RR )  /\  E. z E. w ( ( <. A ,  0R >.  =  <. z ,  0R >.  /\  <. B ,  0R >.  =  <. w ,  0R >. )  /\  z  <R  w ) ) ) )
2524bianabs 576 . . . . 5  |-  ( (
<. A ,  0R >.  e.  RR  /\  <. B ,  0R >.  e.  RR )  ->  ( <. A ,  0R >.  <RR  <. B ,  0R >.  <->  E. z E. w ( ( <. A ,  0R >.  =  <. z ,  0R >.  /\  <. B ,  0R >.  =  <. w ,  0R >. )  /\  z  <R  w ) ) )
26 vex 2605 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
2726eqresr 7055 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
z ,  0R >.  = 
<. A ,  0R >.  <->  z  =  A )
28 eqcom 2084 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. A ,  0R >.  =  <. z ,  0R >.  <->  <. z ,  0R >.  =  <. A ,  0R >. )
29 eqcom 2084 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  z  <->  z  =  A )
3027, 28, 293bitr4i 210 . . . . . . . . 9  |-  ( <. A ,  0R >.  =  <. z ,  0R >.  <->  A  =  z )
31 vex 2605 . . . . . . . . . . 11  |-  w  e. 
_V
3231eqresr 7055 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
w ,  0R >.  = 
<. B ,  0R >.  <->  w  =  B )
33 eqcom 2084 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. B ,  0R >.  =  <. w ,  0R >.  <->  <. w ,  0R >.  =  <. B ,  0R >. )
34 eqcom 2084 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =  w  <->  w  =  B )
3532, 33, 343bitr4i 210 . . . . . . . . 9  |-  ( <. B ,  0R >.  =  <. w ,  0R >.  <->  B  =  w )
3630, 35anbi12i 448 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. A ,  0R >.  = 
<. z ,  0R >.  /\ 
<. B ,  0R >.  = 
<. w ,  0R >. )  <-> 
( A  =  z  /\  B  =  w ) )
3726, 31opth2 3997 . . . . . . . 8  |-  ( <. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  <->  ( A  =  z  /\  B  =  w )
)
3836, 37bitr4i 185 . . . . . . 7  |-  ( (
<. A ,  0R >.  = 
<. z ,  0R >.  /\ 
<. B ,  0R >.  = 
<. w ,  0R >. )  <->  <. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >. )
3938anbi1i 446 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. A ,  0R >.  =  <. z ,  0R >.  /\  <. B ,  0R >.  =  <. w ,  0R >. )  /\  z  <R  w )  <->  ( <. A ,  B >.  =  <. z ,  w >.  /\  z  <R  w ) )
40392exbii 1538 . . . . 5  |-  ( E. z E. w ( ( <. A ,  0R >.  =  <. z ,  0R >.  /\  <. B ,  0R >.  =  <. w ,  0R >. )  /\  z  <R  w )  <->  E. z E. w ( <. A ,  B >.  =  <. z ,  w >.  /\  z  <R  w ) )
4125, 40syl6bb 194 . . . 4  |-  ( (
<. A ,  0R >.  e.  RR  /\  <. B ,  0R >.  e.  RR )  ->  ( <. A ,  0R >.  <RR  <. B ,  0R >.  <->  E. z E. w (
<. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\  z  <R  w )
) )
423, 4, 41syl2anbr 286 . . 3  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( <. A ,  0R >. 
<RR  <. B ,  0R >.  <->  E. z E. w (
<. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\  z  <R  w )
) )
43 breq12 3792 . . . 4  |-  ( ( z  =  A  /\  w  =  B )  ->  ( z  <R  w  <->  A 
<R  B ) )
4443copsex2g 4003 . . 3  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( E. z E. w ( <. A ,  B >.  =  <. z ,  w >.  /\  z  <R  w )  <->  A  <R  B ) )
4542, 44bitrd 186 . 2  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( <. A ,  0R >. 
<RR  <. B ,  0R >.  <-> 
A  <R  B ) )
466, 8, 45pm5.21nii 653 1  |-  ( <. A ,  0R >.  <RR  <. B ,  0R >. 
<->  A  <R  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434   <.cop 3403   class class class wbr 3787   R.cnr 6538   0Rc0r 6539    <R cltr 6544   RRcr 7031    <RR cltrr 7036
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3895  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-iinf 4331
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-tr 3878  df-eprel 4046  df-id 4050  df-po 4053  df-iso 4054  df-iord 4123  df-on 4125  df-suc 4128  df-iom 4334  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-f1 4931  df-fo 4932  df-f1o 4933  df-fv 4934  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 6013  df-1o 6059  df-oadd 6063  df-omul 6064  df-er 6165  df-ec 6167  df-qs 6171  df-ni 6545  df-pli 6546  df-mi 6547  df-lti 6548  df-plpq 6585  df-mpq 6586  df-enq 6588  df-nqqs 6589  df-plqqs 6590  df-mqqs 6591  df-1nqqs 6592  df-rq 6593  df-ltnqqs 6594  df-inp 6707  df-i1p 6708  df-enr 6954  df-nr 6955  df-ltr 6958  df-0r 6959  df-r 7042  df-lt 7045
This theorem is referenced by:  ltresr2  7059  pitoregt0  7068  ltrennb  7073  ax0lt1  7093  axprecex  7097  axpre-ltirr  7099  axpre-ltwlin  7100  axpre-lttrn  7101  axpre-apti  7102  axpre-ltadd  7103  axpre-mulgt0  7104  axpre-mulext  7105  axarch  7108  axcaucvglemcau  7115  axcaucvglemres  7116
  Copyright terms: Public domain W3C validator