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Theorem ltrnqg 6672
Description: Ordering property of reciprocal for positive fractions. For a simplified version of the forward implication, see ltrnqi 6673. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltrnqg  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  ( *Q `  B )  <Q  ( *Q `  A ) ) )

Proof of Theorem ltrnqg
StepHypRef Expression
1 recclnq 6644 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( *Q `  A )  e. 
Q. )
2 recclnq 6644 . . . 4  |-  ( B  e.  Q.  ->  ( *Q `  B )  e. 
Q. )
3 mulclnq 6628 . . . 4  |-  ( ( ( *Q `  A
)  e.  Q.  /\  ( *Q `  B )  e.  Q. )  -> 
( ( *Q `  A )  .Q  ( *Q `  B ) )  e.  Q. )
41, 2, 3syl2an 283 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  A )  .Q  ( *Q `  B ) )  e.  Q. )
5 ltmnqg 6653 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  (
( *Q `  A
)  .Q  ( *Q
`  B ) )  e.  Q. )  -> 
( A  <Q  B  <->  ( (
( *Q `  A
)  .Q  ( *Q
`  B ) )  .Q  A )  <Q 
( ( ( *Q
`  A )  .Q  ( *Q `  B
) )  .Q  B
) ) )
64, 5mpd3an3 1270 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  ( (
( *Q `  A
)  .Q  ( *Q
`  B ) )  .Q  A )  <Q 
( ( ( *Q
`  A )  .Q  ( *Q `  B
) )  .Q  B
) ) )
7 simpl 107 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  A  e.  Q. )
8 mulcomnqg 6635 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( *Q `  A )  .Q  ( *Q `  B ) )  e.  Q.  /\  A  e.  Q. )  ->  (
( ( *Q `  A )  .Q  ( *Q `  B ) )  .Q  A )  =  ( A  .Q  (
( *Q `  A
)  .Q  ( *Q
`  B ) ) ) )
94, 7, 8syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( ( *Q
`  A )  .Q  ( *Q `  B
) )  .Q  A
)  =  ( A  .Q  ( ( *Q
`  A )  .Q  ( *Q `  B
) ) ) )
101adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( *Q `  A
)  e.  Q. )
112adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( *Q `  B
)  e.  Q. )
12 mulassnqg 6636 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  ( *Q `  A )  e.  Q.  /\  ( *Q `  B )  e. 
Q. )  ->  (
( A  .Q  ( *Q `  A ) )  .Q  ( *Q `  B ) )  =  ( A  .Q  (
( *Q `  A
)  .Q  ( *Q
`  B ) ) ) )
137, 10, 11, 12syl3anc 1170 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( A  .Q  ( *Q `  A ) )  .Q  ( *Q
`  B ) )  =  ( A  .Q  ( ( *Q `  A )  .Q  ( *Q `  B ) ) ) )
14 mulclnq 6628 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  ( *Q `  A )  e.  Q. )  -> 
( A  .Q  ( *Q `  A ) )  e.  Q. )
157, 10, 14syl2anc 403 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  .Q  ( *Q `  A ) )  e.  Q. )
16 mulcomnqg 6635 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  .Q  ( *Q `  A ) )  e.  Q.  /\  ( *Q `  B )  e. 
Q. )  ->  (
( A  .Q  ( *Q `  A ) )  .Q  ( *Q `  B ) )  =  ( ( *Q `  B )  .Q  ( A  .Q  ( *Q `  A ) ) ) )
1715, 11, 16syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( A  .Q  ( *Q `  A ) )  .Q  ( *Q
`  B ) )  =  ( ( *Q
`  B )  .Q  ( A  .Q  ( *Q `  A ) ) ) )
189, 13, 173eqtr2d 2120 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( ( *Q
`  A )  .Q  ( *Q `  B
) )  .Q  A
)  =  ( ( *Q `  B )  .Q  ( A  .Q  ( *Q `  A ) ) ) )
19 recidnq 6645 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( A  .Q  ( *Q `  A ) )  =  1Q )
2019oveq2d 5559 . . . . 5  |-  ( A  e.  Q.  ->  (
( *Q `  B
)  .Q  ( A  .Q  ( *Q `  A ) ) )  =  ( ( *Q
`  B )  .Q  1Q ) )
21 mulidnq 6641 . . . . . 6  |-  ( ( *Q `  B )  e.  Q.  ->  (
( *Q `  B
)  .Q  1Q )  =  ( *Q `  B ) )
222, 21syl 14 . . . . 5  |-  ( B  e.  Q.  ->  (
( *Q `  B
)  .Q  1Q )  =  ( *Q `  B ) )
2320, 22sylan9eq 2134 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  B )  .Q  ( A  .Q  ( *Q `  A ) ) )  =  ( *Q `  B ) )
2418, 23eqtrd 2114 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( ( *Q
`  A )  .Q  ( *Q `  B
) )  .Q  A
)  =  ( *Q
`  B ) )
25 simpr 108 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  B  e.  Q. )
26 mulassnqg 6636 . . . . 5  |-  ( ( ( *Q `  A
)  e.  Q.  /\  ( *Q `  B )  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  (
( ( *Q `  A )  .Q  ( *Q `  B ) )  .Q  B )  =  ( ( *Q `  A )  .Q  (
( *Q `  B
)  .Q  B ) ) )
2710, 11, 25, 26syl3anc 1170 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( ( *Q
`  A )  .Q  ( *Q `  B
) )  .Q  B
)  =  ( ( *Q `  A )  .Q  ( ( *Q
`  B )  .Q  B ) ) )
28 mulcomnqg 6635 . . . . . 6  |-  ( ( ( *Q `  B
)  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  B )  .Q  B
)  =  ( B  .Q  ( *Q `  B ) ) )
2911, 25, 28syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  B )  .Q  B
)  =  ( B  .Q  ( *Q `  B ) ) )
3029oveq2d 5559 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  A )  .Q  (
( *Q `  B
)  .Q  B ) )  =  ( ( *Q `  A )  .Q  ( B  .Q  ( *Q `  B ) ) ) )
31 recidnq 6645 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Q.  ->  ( B  .Q  ( *Q `  B ) )  =  1Q )
3231oveq2d 5559 . . . . 5  |-  ( B  e.  Q.  ->  (
( *Q `  A
)  .Q  ( B  .Q  ( *Q `  B ) ) )  =  ( ( *Q
`  A )  .Q  1Q ) )
33 mulidnq 6641 . . . . . 6  |-  ( ( *Q `  A )  e.  Q.  ->  (
( *Q `  A
)  .Q  1Q )  =  ( *Q `  A ) )
341, 33syl 14 . . . . 5  |-  ( A  e.  Q.  ->  (
( *Q `  A
)  .Q  1Q )  =  ( *Q `  A ) )
3532, 34sylan9eqr 2136 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  A )  .Q  ( B  .Q  ( *Q `  B ) ) )  =  ( *Q `  A ) )
3627, 30, 353eqtrd 2118 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( ( *Q
`  A )  .Q  ( *Q `  B
) )  .Q  B
)  =  ( *Q
`  A ) )
3724, 36breq12d 3806 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( ( ( *Q `  A )  .Q  ( *Q `  B ) )  .Q  A )  <Q  (
( ( *Q `  A )  .Q  ( *Q `  B ) )  .Q  B )  <->  ( *Q `  B )  <Q  ( *Q `  A ) ) )
386, 37bitrd 186 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  ( *Q `  B )  <Q  ( *Q `  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   class class class wbr 3793   ` cfv 4932  (class class class)co 5543   Q.cnq 6532   1Qc1q 6533    .Q cmq 6535   *Qcrq 6536    <Q cltq 6537
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-eprel 4052  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-1o 6065  df-oadd 6069  df-omul 6070  df-er 6172  df-ec 6174  df-qs 6178  df-ni 6556  df-mi 6558  df-lti 6559  df-mpq 6597  df-enq 6599  df-nqqs 6600  df-mqqs 6602  df-1nqqs 6603  df-rq 6604  df-ltnqqs 6605
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