Theorem ltsopi 6572

Description: Positive integer 'less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ltsopi	|- <N Or N.

Proof of Theorem ltsopi

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirrv 4299	. . . . . 6 |- -. x e. x
2		ltpiord 6571	. . . . . . 7 |- ( ( x e. N. /\ x e. N. ) -> ( x <N x <-> x e. x ) )
3	2	anidms 389	. . . . . 6 |- ( x e. N. -> ( x <N x <-> x e. x ) )
4	1, 3	mtbiri 633	. . . . 5 |- ( x e. N. -> -. x <N x )
5	4	adantl 271	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. N. ) -> -. x <N x )
6		pion 6562	. . . . . . . 8 |- ( z e. N. -> z e. On )
7		ontr1 4152	. . . . . . . 8 |- ( z e. On -> ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( z e. N. -> ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
9	8	3ad2ant3 962	. . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
10		ltpiord 6571	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x <N y <-> x e. y ) )
11	10	3adant3 959	. . . . . . 7 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( x <N y <-> x e. y ) )
12		ltpiord 6571	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. N. /\ z e. N. ) -> ( y <N z <-> y e. z ) )
13	12	3adant1 957	. . . . . . 7 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( y <N z <-> y e. z ) )
14	11, 13	anbi12d 457	. . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( ( x <N y /\ y <N z ) <-> ( x e. y /\ y e. z ) ) )
15		ltpiord 6571	. . . . . . 7 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> ( x <N z <-> x e. z ) )
16	15	3adant2 958	. . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( x <N z <-> x e. z ) )
17	9, 14, 16	3imtr4d 201	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( ( x <N y /\ y <N z ) -> x <N z ) )
18	17	adantl 271	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) ) -> ( ( x <N y /\ y <N z ) -> x <N z ) )
19	5, 18	ispod 4067	. . 3 |- ( T. -> <N Po N. )
20		pinn 6561	. . . . . 6 |- ( x e. N. -> x e. om )
21		pinn 6561	. . . . . 6 |- ( y e. N. -> y e. om )
22		nntri3or 6137	. . . . . 6 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
23	20, 21, 22	syl2an 283	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
24		biidd 170	. . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x = y <-> x = y ) )
25		ltpiord 6571	. . . . . . 7 |- ( ( y e. N. /\ x e. N. ) -> ( y <N x <-> y e. x ) )
26	25	ancoms 264	. . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( y <N x <-> y e. x ) )
27	10, 24, 26	3orbi123d 1243	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( ( x <N y \/ x = y \/ y <N x ) <-> ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) ) )
28	23, 27	mpbird 165	. . . 4 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x <N y \/ x = y \/ y <N x ) )
29	28	adantl 271	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( x <N y \/ x = y \/ y <N x ) )
30	19, 29	issod 4082	. 2 |- ( T. -> <N Or N. )
31	30	trud 1294	1 |- <N Or N.

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ w3o 919   /\ w3a 920   T. wtru 1286   e. wcel 1434   class class class wbr 3793   Or wor 4058   Oncon0 4126   omcom 4339   N.cnpi 6524   <N clti 6527

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-opab 3848  df-tr 3884  df-eprel 4052  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-ni 6556  df-lti 6559

This theorem is referenced by:  ltsonq  6650