ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltsopi Unicode version

Theorem ltsopi 6572
Description: Positive integer 'less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
ltsopi  |-  <N  Or  N.

Proof of Theorem ltsopi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elirrv 4299 . . . . . 6  |-  -.  x  e.  x
2 ltpiord 6571 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  N.  /\  x  e.  N. )  ->  ( x  <N  x  <->  x  e.  x ) )
32anidms 389 . . . . . 6  |-  ( x  e.  N.  ->  (
x  <N  x  <->  x  e.  x ) )
41, 3mtbiri 633 . . . . 5  |-  ( x  e.  N.  ->  -.  x  <N  x )
54adantl 271 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e. 
N. )  ->  -.  x  <N  x )
6 pion 6562 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  N.  ->  z  e.  On )
7 ontr1 4152 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  On  ->  (
( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
86, 7syl 14 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  N.  ->  (
( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
983ad2ant3 962 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  (
( x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
10 ltpiord 6571 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  <N  y  <->  x  e.  y ) )
11103adant3 959 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  (
x  <N  y  <->  x  e.  y ) )
12 ltpiord 6571 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  ( y  <N  z  <->  y  e.  z ) )
13123adant1 957 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  (
y  <N  z  <->  y  e.  z ) )
1411, 13anbi12d 457 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  (
( x  <N  y  /\  y  <N  z )  <-> 
( x  e.  y  /\  y  e.  z ) ) )
15 ltpiord 6571 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  ( x  <N  z  <->  x  e.  z ) )
16153adant2 958 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  (
x  <N  z  <->  x  e.  z ) )
179, 14, 163imtr4d 201 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  (
( x  <N  y  /\  y  <N  z )  ->  x  <N  z
) )
1817adantl 271 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e. 
N. ) )  -> 
( ( x  <N  y  /\  y  <N  z
)  ->  x  <N  z ) )
195, 18ispod 4067 . . 3  |-  ( T. 
->  <N  Po  N. )
20 pinn 6561 . . . . . 6  |-  ( x  e.  N.  ->  x  e.  om )
21 pinn 6561 . . . . . 6  |-  ( y  e.  N.  ->  y  e.  om )
22 nntri3or 6137 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
) )
2320, 21, 22syl2an 283 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
) )
24 biidd 170 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  =  y  <-> 
x  =  y ) )
25 ltpiord 6571 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  N.  /\  x  e.  N. )  ->  ( y  <N  x  <->  y  e.  x ) )
2625ancoms 264 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( y  <N  x  <->  y  e.  x ) )
2710, 24, 263orbi123d 1243 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( ( x  <N  y  \/  x  =  y  \/  y  <N  x
)  <->  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) ) )
2823, 27mpbird 165 . . . 4  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  <N  y  \/  x  =  y  \/  y  <N  x ) )
2928adantl 271 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. ) )  -> 
( x  <N  y  \/  x  =  y  \/  y  <N  x ) )
3019, 29issod 4082 . 2  |-  ( T. 
->  <N  Or  N. )
3130trud 1294 1  |-  <N  Or  N.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ w3o 919    /\ w3a 920   T. wtru 1286    e. wcel 1434   class class class wbr 3793    Or wor 4058   Oncon0 4126   omcom 4339   N.cnpi 6524    <N clti 6527
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-opab 3848  df-tr 3884  df-eprel 4052  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-ni 6556  df-lti 6559
This theorem is referenced by:  ltsonq  6650
  Copyright terms: Public domain W3C validator