Theorem ltsub13 7684

Description: 'Less than' relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ltsub13	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A < ( B - C ) <-> C < ( B - A ) ) )

Proof of Theorem ltsub13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltaddsub 7677	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A + C ) < B <-> A < ( B - C ) ) )
2		ltaddsub2 7678	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A + C ) < B <-> C < ( B - A ) ) )
3	1, 2	bitr3d 188	. 2 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < ( B - C ) <-> C < ( B - A ) ) )
4	3	3com23 1145	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A < ( B - C ) <-> C < ( B - A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   /\ w3a 920   e. wcel 1434   class class class wbr 3805  (class class class)co 5564   RRcr 7112   + caddc 7116   < clt 7285   - cmin 7416

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7199  ax-resscn 7200  ax-1cn 7201  ax-icn 7203  ax-addcl 7204  ax-addrcl 7205  ax-mulcl 7206  ax-addcom 7208  ax-addass 7210  ax-distr 7212  ax-i2m1 7213  ax-0id 7216  ax-rnegex 7217  ax-cnre 7219  ax-pre-ltadd 7224

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fv 4960  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-pnf 7287  df-mnf 7288  df-ltxr 7290  df-sub 7418  df-neg 7419

This theorem is referenced by:  ltsub13d  7788