ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lttrd Unicode version

Theorem lttrd 7354
Description: Transitive law deduction for 'less than'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
letrd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
lttrd.4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
lttrd.5  |-  ( ph  ->  B  <  C )
Assertion
Ref Expression
lttrd  |-  ( ph  ->  A  <  C )

Proof of Theorem lttrd
StepHypRef Expression
1 lttrd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <  B )
2 lttrd.5 . 2  |-  ( ph  ->  B  <  C )
3 ltd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 ltd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 letrd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
6 lttr 7304 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
73, 4, 5, 6syl3anc 1170 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  < 
B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C ) )
81, 2, 7mp2and 424 1  |-  ( ph  ->  A  <  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    e. wcel 1434   class class class wbr 3805   RRcr 7094    < clt 7267
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-pre-lttrn 7204
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2612  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-xp 4397  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-ltxr 7272
This theorem is referenced by:  exbtwnzlemex  9388  rebtwn2z  9393  qbtwnrelemcalc  9394  expgt1  9663  ltexp2a  9677  expnlbnd2  9747  expcanlem  9792  expcan  9793  cvg1nlemcxze  10069  cvg1nlemcau  10071  cvg1nlemres  10072  recvguniqlem  10081  resqrexlemdecn  10099  resqrexlemcvg  10106  resqrexlemga  10110  qdenre  10289  dvdslelemd  10451
  Copyright terms: Public domain W3C validator