Theorem m1expeven 10333

Description: Exponentiation of negative one to an even power. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
m1expeven	|- ( N e. ZZ -> ( -u 1 ^ ( 2 x. N ) ) = 1 )

Proof of Theorem m1expeven

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9052	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
2	1	2timesd 8955	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. N ) = ( N + N ) )
3	2	oveq2d 5783	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( -u 1 ^ ( 2 x. N ) ) = ( -u 1 ^ ( N + N ) ) )
4		neg1cn 8818	. . . 4 |- -u 1 e. CC
5		neg1ap0 8822	. . . 4 |- -u 1 # 0
6		expaddzap 10330	. . . 4 |- ( ( ( -u 1 e. CC /\ -u 1 # 0 ) /\ ( N e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( -u 1 ^ ( N + N ) ) = ( ( -u 1 ^ N ) x. ( -u 1 ^ N ) ) )
7	4, 5, 6	mpanl12 432	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -u 1 ^ ( N + N ) ) = ( ( -u 1 ^ N ) x. ( -u 1 ^ N ) ) )
8	7	anidms 394	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( -u 1 ^ ( N + N ) ) = ( ( -u 1 ^ N ) x. ( -u 1 ^ N ) ) )
9		m1expcl2 10308	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( -u 1 ^ N ) e. { -u 1 , 1 } )
10		neg1rr 8819	. . . . . 6 |- -u 1 e. RR
11		reexpclzap 10306	. . . . . 6 |- ( ( -u 1 e. RR /\ -u 1 # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( -u 1 ^ N ) e. RR )
12	10, 5, 11	mp3an12 1305	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( -u 1 ^ N ) e. RR )
13		elprg 3542	. . . . 5 |- ( ( -u 1 ^ N ) e. RR -> ( ( -u 1 ^ N ) e. { -u 1 , 1 } <-> ( ( -u 1 ^ N ) = -u 1 \/ ( -u 1 ^ N ) = 1 ) ) )
14	12, 13	syl 14	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( -u 1 ^ N ) e. { -u 1 , 1 } <-> ( ( -u 1 ^ N ) = -u 1 \/ ( -u 1 ^ N ) = 1 ) ) )
15		oveq12 5776	. . . . . . 7 |- ( ( ( -u 1 ^ N ) = -u 1 /\ ( -u 1 ^ N ) = -u 1 ) -> ( ( -u 1 ^ N ) x. ( -u 1 ^ N ) ) = ( -u 1 x. -u 1 ) )
16	15	anidms 394	. . . . . 6 |- ( ( -u 1 ^ N ) = -u 1 -> ( ( -u 1 ^ N ) x. ( -u 1 ^ N ) ) = ( -u 1 x. -u 1 ) )
17		neg1mulneg1e1 8925	. . . . . 6 |- ( -u 1 x. -u 1 ) = 1
18	16, 17	syl6eq 2186	. . . . 5 |- ( ( -u 1 ^ N ) = -u 1 -> ( ( -u 1 ^ N ) x. ( -u 1 ^ N ) ) = 1 )
19		oveq12 5776	. . . . . . 7 |- ( ( ( -u 1 ^ N ) = 1 /\ ( -u 1 ^ N ) = 1 ) -> ( ( -u 1 ^ N ) x. ( -u 1 ^ N ) ) = ( 1 x. 1 ) )
20	19	anidms 394	. . . . . 6 |- ( ( -u 1 ^ N ) = 1 -> ( ( -u 1 ^ N ) x. ( -u 1 ^ N ) ) = ( 1 x. 1 ) )
21		1t1e1 8865	. . . . . 6 |- ( 1 x. 1 ) = 1
22	20, 21	syl6eq 2186	. . . . 5 |- ( ( -u 1 ^ N ) = 1 -> ( ( -u 1 ^ N ) x. ( -u 1 ^ N ) ) = 1 )
23	18, 22	jaoi 705	. . . 4 |- ( ( ( -u 1 ^ N ) = -u 1 \/ ( -u 1 ^ N ) = 1 ) -> ( ( -u 1 ^ N ) x. ( -u 1 ^ N ) ) = 1 )
24	14, 23	syl6bi 162	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( -u 1 ^ N ) e. { -u 1 , 1 } -> ( ( -u 1 ^ N ) x. ( -u 1 ^ N ) ) = 1 ) )
25	9, 24	mpd 13	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( ( -u 1 ^ N ) x. ( -u 1 ^ N ) ) = 1 )
26	3, 8, 25	3eqtrd 2174	1 |- ( N e. ZZ -> ( -u 1 ^ ( 2 x. N ) ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   = wceq 1331   e. wcel 1480   {cpr 3523   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   CCcc 7611   RRcr 7612   0cc0 7613   1c1 7614   + caddc 7616   x. cmul 7618   -ucneg 7927   # cap 8336   2c2 8764   ZZcz 9047   ^cexp 10285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-seqfrec 10212  df-exp 10286

This theorem is referenced by:  m1expe  11585  m1expo  11586  m1exp1  11587