ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  m1modge3gt1 Unicode version

Theorem m1modge3gt1 9453
Description: Minus one modulo an integer greater than two is greater than one. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
m1modge3gt1  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  1  <  (
-u 1  mod  M
) )

Proof of Theorem m1modge3gt1
StepHypRef Expression
1 1p1e2 8222 . . . 4  |-  ( 1  +  1 )  =  2
2 2p1e3 8232 . . . . . 6  |-  ( 2  +  1 )  =  3
3 eluzle 8712 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  <_  M )
42, 3syl5eqbr 3826 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  +  1 )  <_  M )
5 2z 8460 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
6 eluzelz 8709 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  M  e.  ZZ )
7 zltp1le 8486 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( 2  <  M  <->  ( 2  +  1 )  <_  M ) )
85, 6, 7sylancr 405 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  <  M  <->  ( 2  +  1 )  <_  M ) )
94, 8mpbird 165 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  2  <  M )
101, 9syl5eqbr 3826 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 1  +  1 )  < 
M )
11 1red 7196 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  1  e.  RR )
12 eluzelre 8710 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  M  e.  RR )
1311, 11, 12ltaddsub2d 7713 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
1  +  1 )  <  M  <->  1  <  ( M  -  1 ) ) )
1410, 13mpbid 145 . 2  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  1  <  ( M  -  1 ) )
15 eluzge3nn 8741 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  M  e.  NN )
16 m1modnnsub1 9452 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1  mod  M )  =  ( M  - 
1 ) )
1715, 16syl 14 . 2  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( -u 1  mod  M )  =  ( M  -  1 ) )
1814, 17breqtrrd 3819 1  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  1  <  (
-u 1  mod  M
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   class class class wbr 3793   ` cfv 4932  (class class class)co 5543   1c1 7044    + caddc 7046    < clt 7215    <_ cle 7216    - cmin 7346   -ucneg 7347   NNcn 8106   2c2 8156   3c3 8157   ZZcz 8432   ZZ>=cuz 8700    mod cmo 9404
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155  ax-pre-mulext 7156  ax-arch 7157
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749  df-div 7828  df-inn 8107  df-2 8165  df-3 8166  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-q 8786  df-rp 8816  df-fl 9352  df-mod 9405
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator