ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  m1r Unicode version

Theorem m1r 6991
Description: The constant  -1R is a signed real. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
m1r  |-  -1R  e.  R.

Proof of Theorem m1r
StepHypRef Expression
1 1pr 6806 . . . 4  |-  1P  e.  P.
2 addclpr 6789 . . . . 5  |-  ( ( 1P  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  -> 
( 1P  +P.  1P )  e.  P. )
31, 1, 2mp2an 417 . . . 4  |-  ( 1P 
+P.  1P )  e.  P.
4 opelxpi 4402 . . . 4  |-  ( ( 1P  e.  P.  /\  ( 1P  +P.  1P )  e.  P. )  ->  <. 1P ,  ( 1P 
+P.  1P ) >.  e.  ( P.  X.  P. )
)
51, 3, 4mp2an 417 . . 3  |-  <. 1P , 
( 1P  +P.  1P ) >.  e.  ( P. 
X.  P. )
6 enrex 6976 . . . 4  |-  ~R  e.  _V
76ecelqsi 6226 . . 3  |-  ( <. 1P ,  ( 1P  +P.  1P ) >.  e.  ( P.  X.  P. )  ->  [ <. 1P ,  ( 1P  +P.  1P )
>. ]  ~R  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  ) )
85, 7ax-mp 7 . 2  |-  [ <. 1P ,  ( 1P  +P.  1P ) >. ]  ~R  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
9 df-m1r 6972 . 2  |-  -1R  =  [ <. 1P ,  ( 1P  +P.  1P )
>. ]  ~R
10 df-nr 6966 . 2  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
118, 9, 103eltr4i 2161 1  |-  -1R  e.  R.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1434   <.cop 3409    X. cxp 4369  (class class class)co 5543   [cec 6170   /.cqs 6171   P.cnp 6543   1Pc1p 6544    +P. cpp 6545    ~R cer 6548   R.cnr 6549   -1Rcm1r 6552
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-eprel 4052  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-1o 6065  df-2o 6066  df-oadd 6069  df-omul 6070  df-er 6172  df-ec 6174  df-qs 6178  df-ni 6556  df-pli 6557  df-mi 6558  df-lti 6559  df-plpq 6596  df-mpq 6597  df-enq 6599  df-nqqs 6600  df-plqqs 6601  df-mqqs 6602  df-1nqqs 6603  df-rq 6604  df-ltnqqs 6605  df-enq0 6676  df-nq0 6677  df-0nq0 6678  df-plq0 6679  df-mq0 6680  df-inp 6718  df-i1p 6719  df-iplp 6720  df-enr 6965  df-nr 6966  df-m1r 6972
This theorem is referenced by:  pn0sr  7010  negexsr  7011  caucvgsrlemoffval  7034  caucvgsrlemofff  7035  caucvgsrlemoffres  7038  caucvgsr  7040  mulcnsr  7065  mulresr  7068  mulcnsrec  7073  axmulcl  7096  axmulass  7101  axdistr  7102  axi2m1  7103  axrnegex  7107  axcnre  7109
  Copyright terms: Public domain W3C validator