Theorem maxleim 10970

Description: Value of maximum when we know which number is larger. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
maxleim	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B -> sup ( { A , B } , RR , < ) = B ) )

Proof of Theorem maxleim

Dummy variables f g y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttri3 7837	. . . 4 |- ( ( f e. RR /\ g e. RR ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
2	1	adantl 275	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A <_ B ) /\ ( f e. RR /\ g e. RR ) ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
3		simplr 519	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A <_ B ) -> B e. RR )
4		prid2g 3623	. . . 4 |- ( B e. RR -> B e. { A , B } )
5	3, 4	syl 14	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A <_ B ) -> B e. { A , B } )
6		simpll 518	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A <_ B ) -> A e. RR )
7	6	ad2antrr 479	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A <_ B ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> A e. RR )
8	3	ad2antrr 479	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A <_ B ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> B e. RR )
9		simpllr 523	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A <_ B ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> A <_ B )
10	7, 8, 9	lensymd 7877	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A <_ B ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> -. B < A )
11		breq2 3928	. . . . . . 7 |- ( y = A -> ( B < y <-> B < A ) )
12	11	notbid 656	. . . . . 6 |- ( y = A -> ( -. B < y <-> -. B < A ) )
13	12	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A <_ B ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> ( -. B < y <-> -. B < A ) )
14	10, 13	mpbird 166	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A <_ B ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> -. B < y )
15	3	ad2antrr 479	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A <_ B ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> B e. RR )
16	15	ltnrd 7868	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A <_ B ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> -. B < B )
17		breq2 3928	. . . . . . 7 |- ( y = B -> ( B < y <-> B < B ) )
18	17	notbid 656	. . . . . 6 |- ( y = B -> ( -. B < y <-> -. B < B ) )
19	18	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A <_ B ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> ( -. B < y <-> -. B < B ) )
20	16, 19	mpbird 166	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A <_ B ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> -. B < y )
21		elpri 3545	. . . . 5 |- ( y e. { A , B } -> ( y = A \/ y = B ) )
22	21	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A <_ B ) /\ y e. { A , B } ) -> ( y = A \/ y = B ) )
23	14, 20, 22	mpjaodan 787	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A <_ B ) /\ y e. { A , B } ) -> -. B < y )
24	2, 3, 5, 23	supmaxti 6884	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A <_ B ) -> sup ( { A , B } , RR , < ) = B )
25	24	ex 114	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B -> sup ( { A , B } , RR , < ) = B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   = wceq 1331   e. wcel 1480   {cpr 3523   class class class wbr 3924   supcsup 6862   RRcr 7612   < clt 7793   <_ cle 7794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-apti 7728

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-cnv 4542  df-iota 5083  df-riota 5723  df-sup 6864  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799

This theorem is referenced by:  maxleb  10981  xrmaxiflemab  11009