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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > minmax | Unicode version |
Description: Minimum expressed in terms of maximum. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Feb-2021.) |
Ref | Expression |
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minmax |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | renegcl 7488 |
. . . . . . . . . . . 12
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2 | elprg 3436 |
. . . . . . . . . . . 12
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3 | 1, 2 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
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4 | 3 | adantl 271 |
. . . . . . . . . 10
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5 | simpr 108 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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6 | 5 | recnd 7261 |
. . . . . . . . . . . . 13
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7 | simpll 496 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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8 | 7 | recnd 7261 |
. . . . . . . . . . . . 13
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9 | 6, 8 | negcon1d 7532 |
. . . . . . . . . . . 12
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10 | eqcom 2085 |
. . . . . . . . . . . 12
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11 | 9, 10 | syl6bb 194 |
. . . . . . . . . . 11
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12 | simplr 497 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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13 | 12 | recnd 7261 |
. . . . . . . . . . . . 13
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14 | 6, 13 | negcon1d 7532 |
. . . . . . . . . . . 12
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15 | eqcom 2085 |
. . . . . . . . . . . 12
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16 | 14, 15 | syl6bb 194 |
. . . . . . . . . . 11
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17 | 11, 16 | orbi12d 740 |
. . . . . . . . . 10
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18 | 4, 17 | bitrd 186 |
. . . . . . . . 9
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19 | 18 | rabbidva 2598 |
. . . . . . . 8
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20 | dfrab2 3255 |
. . . . . . . . . 10
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21 | dfpr2 3435 |
. . . . . . . . . . 11
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22 | 21 | ineq1i 3179 |
. . . . . . . . . 10
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23 | 20, 22 | eqtr4i 2106 |
. . . . . . . . 9
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24 | renegcl 7488 |
. . . . . . . . . . 11
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25 | renegcl 7488 |
. . . . . . . . . . 11
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26 | prssi 3563 |
. . . . . . . . . . 11
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27 | 24, 25, 26 | syl2an 283 |
. . . . . . . . . 10
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28 | df-ss 2995 |
. . . . . . . . . 10
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29 | 27, 28 | sylib 120 |
. . . . . . . . 9
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30 | 23, 29 | syl5eq 2127 |
. . . . . . . 8
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31 | 19, 30 | eqtrd 2115 |
. . . . . . 7
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32 | 31 | supeq1d 6494 |
. . . . . 6
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33 | maxcl 10297 |
. . . . . . 7
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34 | 24, 25, 33 | syl2an 283 |
. . . . . 6
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35 | 32, 34 | eqeltrd 2159 |
. . . . 5
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36 | 35 | renegcld 7603 |
. . . 4
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37 | simpr 108 |
. . . . . . . . 9
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38 | 37 | negeqd 7422 |
. . . . . . . 8
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39 | maxle1 10298 |
. . . . . . . . . 10
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40 | 24, 25, 39 | syl2an 283 |
. . . . . . . . 9
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41 | 40 | ad2antrr 472 |
. . . . . . . 8
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42 | 38, 41 | eqbrtrd 3825 |
. . . . . . 7
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43 | simpll 496 |
. . . . . . . 8
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44 | simplll 500 |
. . . . . . . . 9
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45 | 37, 44 | eqeltrd 2159 |
. . . . . . . 8
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46 | 32 | negeqd 7422 |
. . . . . . . . . . . 12
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47 | 46 | breq2d 3817 |
. . . . . . . . . . 11
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48 | 47 | notbid 625 |
. . . . . . . . . 10
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49 | 48 | adantr 270 |
. . . . . . . . 9
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50 | 34 | adantr 270 |
. . . . . . . . . . 11
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51 | 50 | renegcld 7603 |
. . . . . . . . . 10
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52 | simpr 108 |
. . . . . . . . . 10
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53 | 51, 52 | lenltd 7346 |
. . . . . . . . 9
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54 | lenegcon1 7689 |
. . . . . . . . . 10
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55 | 34, 54 | sylan 277 |
. . . . . . . . 9
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56 | 49, 53, 55 | 3bitr2d 214 |
. . . . . . . 8
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57 | 43, 45, 56 | syl2anc 403 |
. . . . . . 7
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58 | 42, 57 | mpbird 165 |
. . . . . 6
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59 | simpr 108 |
. . . . . . . . 9
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60 | 59 | negeqd 7422 |
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61 | maxle2 10299 |
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62 | 24, 25, 61 | syl2an 283 |
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63 | 62 | ad2antrr 472 |
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64 | 60, 63 | eqbrtrd 3825 |
. . . . . . 7
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65 | simpll 496 |
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66 | simpllr 501 |
. . . . . . . . 9
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67 | 59, 66 | eqeltrd 2159 |
. . . . . . . 8
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. . . . . . 7
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69 | 64, 68 | mpbird 165 |
. . . . . 6
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70 | elpri 3439 |
. . . . . . 7
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71 | 70 | adantl 271 |
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72 | 58, 69, 71 | mpjaodan 745 |
. . . . 5
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73 | 72 | ralrimiva 2439 |
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74 | 24 | ad3antrrr 476 |
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75 | 25 | ad3antlr 477 |
. . . . . . . . 9
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76 | simplr 497 |
. . . . . . . . . 10
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77 | 76 | renegcld 7603 |
. . . . . . . . 9
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78 | 34 | ad2antrr 472 |
. . . . . . . . . 10
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79 | simpr 108 |
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80 | 46 | breq1d 3815 |
. . . . . . . . . . . 12
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81 | 80 | ad2antrr 472 |
. . . . . . . . . . 11
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82 | 79, 81 | mpbid 145 |
. . . . . . . . . 10
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83 | 78, 76, 82 | ltnegcon1d 7744 |
. . . . . . . . 9
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84 | maxleastlt 10302 |
. . . . . . . . 9
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85 | 74, 75, 77, 83, 84 | syl22anc 1171 |
. . . . . . . 8
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86 | simplll 500 |
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87 | 86, 76 | ltnegd 7742 |
. . . . . . . . 9
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. . . . . . . . . 10
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89 | 88, 76 | ltnegd 7742 |
. . . . . . . . 9
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90 | 87, 89 | orbi12d 740 |
. . . . . . . 8
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91 | 85, 90 | mpbird 165 |
. . . . . . 7
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92 | breq1 3808 |
. . . . . . . . 9
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. . . . . . . 8
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97 | 96 | ex 113 |
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98 | 97 | ralrimiva 2439 |
. . . 4
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99 | breq2 3809 |
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100 | 99 | notbid 625 |
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101 | 100 | ralbidv 2373 |
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102 | breq1 3808 |
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103 | 102 | imbi1d 229 |
. . . . . . 7
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104 | 103 | ralbidv 2373 |
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105 | 101, 104 | anbi12d 457 |
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106 | 105 | rspcev 2710 |
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107 | 36, 73, 98, 106 | syl12anc 1168 |
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108 | prssi 3563 |
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109 | 107, 108 | infrenegsupex 8815 |
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110 | 109, 46 | eqtrd 2115 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-in1 577 ax-in2 578 ax-io 663 ax-5 1377 ax-7 1378 ax-gen 1379 ax-ie1 1423 ax-ie2 1424 ax-8 1436 ax-10 1437 ax-11 1438 ax-i12 1439 ax-bndl 1440 ax-4 1441 ax-13 1445 ax-14 1446 ax-17 1460 ax-i9 1464 ax-ial 1468 ax-i5r 1469 ax-ext 2065 ax-coll 3913 ax-sep 3916 ax-nul 3924 ax-pow 3968 ax-pr 3992 ax-un 4216 ax-setind 4308 ax-iinf 4357 ax-cnex 7181 ax-resscn 7182 ax-1cn 7183 ax-1re 7184 ax-icn 7185 ax-addcl 7186 ax-addrcl 7187 ax-mulcl 7188 ax-mulrcl 7189 ax-addcom 7190 ax-mulcom 7191 ax-addass 7192 ax-mulass 7193 ax-distr 7194 ax-i2m1 7195 ax-0lt1 7196 ax-1rid 7197 ax-0id 7198 ax-rnegex 7199 ax-precex 7200 ax-cnre 7201 ax-pre-ltirr 7202 ax-pre-ltwlin 7203 ax-pre-lttrn 7204 ax-pre-apti 7205 ax-pre-ltadd 7206 ax-pre-mulgt0 7207 ax-pre-mulext 7208 ax-arch 7209 ax-caucvg 7210 |
This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-dc 777 df-3or 921 df-3an 922 df-tru 1288 df-fal 1291 df-nf 1391 df-sb 1688 df-eu 1946 df-mo 1947 df-clab 2070 df-cleq 2076 df-clel 2079 df-nfc 2212 df-ne 2250 df-nel 2345 df-ral 2358 df-rex 2359 df-reu 2360 df-rmo 2361 df-rab 2362 df-v 2612 df-sbc 2825 df-csb 2918 df-dif 2984 df-un 2986 df-in 2988 df-ss 2995 df-nul 3268 df-if 3369 df-pw 3402 df-sn 3422 df-pr 3423 df-op 3425 df-uni 3622 df-int 3657 df-iun 3700 df-br 3806 df-opab 3860 df-mpt 3861 df-tr 3896 df-id 4076 df-po 4079 df-iso 4080 df-iord 4149 df-on 4151 df-ilim 4152 df-suc 4154 df-iom 4360 df-xp 4397 df-rel 4398 df-cnv 4399 df-co 4400 df-dm 4401 df-rn 4402 df-res 4403 df-ima 4404 df-iota 4917 df-fun 4954 df-fn 4955 df-f 4956 df-f1 4957 df-fo 4958 df-f1o 4959 df-fv 4960 df-isom 4961 df-riota 5519 df-ov 5566 df-oprab 5567 df-mpt2 5568 df-1st 5818 df-2nd 5819 df-recs 5974 df-frec 6060 df-sup 6491 df-inf 6492 df-pnf 7269 df-mnf 7270 df-xr 7271 df-ltxr 7272 df-le 7273 df-sub 7400 df-neg 7401 df-reap 7794 df-ap 7801 df-div 7880 df-inn 8159 df-2 8217 df-3 8218 df-4 8219 df-n0 8408 df-z 8485 df-uz 8753 df-rp 8868 df-iseq 9574 df-iexp 9625 df-cj 9930 df-re 9931 df-im 9932 df-rsqrt 10085 df-abs 10086 |
This theorem is referenced by: min1inf 10314 min2inf 10315 lemininf 10316 ltmininf 10317 |
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