ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  minmax Unicode version

Theorem minmax 10313
Description: Minimum expressed in terms of maximum. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Feb-2021.)
Assertion
Ref Expression
minmax  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  -> inf ( { A ,  B } ,  RR ,  <  )  =  -u sup ( { -u A ,  -u B } ,  RR ,  <  ) )

Proof of Theorem minmax
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl 7488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  RR  ->  -u z  e.  RR )
2 elprg 3436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u z  e.  RR  ->  (
-u z  e.  { A ,  B }  <->  (
-u z  =  A  \/  -u z  =  B ) ) )
31, 2syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  RR  ->  ( -u z  e.  { A ,  B }  <->  ( -u z  =  A  \/  -u z  =  B ) ) )
43adantl 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  ( -u z  e.  { A ,  B } 
<->  ( -u z  =  A  \/  -u z  =  B ) ) )
5 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  z  e.  RR )
65recnd 7261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  z  e.  CC )
7 simpll 496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
87recnd 7261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  A  e.  CC )
96, 8negcon1d 7532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  ( -u z  =  A  <->  -u A  =  z ) )
10 eqcom 2085 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u A  =  z  <->  z  =  -u A )
119, 10syl6bb 194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  ( -u z  =  A  <->  z  =  -u A ) )
12 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
1312recnd 7261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  B  e.  CC )
146, 13negcon1d 7532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  ( -u z  =  B  <->  -u B  =  z ) )
15 eqcom 2085 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u B  =  z  <->  z  =  -u B )
1614, 15syl6bb 194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  ( -u z  =  B  <->  z  =  -u B ) )
1711, 16orbi12d 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( -u z  =  A  \/  -u z  =  B )  <-> 
( z  =  -u A  \/  z  =  -u B ) ) )
184, 17bitrd 186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  ( -u z  e.  { A ,  B } 
<->  ( z  =  -u A  \/  z  =  -u B ) ) )
1918rabbidva 2598 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } }  =  { z  e.  RR  |  ( z  =  -u A  \/  z  =  -u B ) } )
20 dfrab2 3255 . . . . . . . . . 10  |-  { z  e.  RR  |  ( z  =  -u A  \/  z  =  -u B
) }  =  ( { z  |  ( z  =  -u A  \/  z  =  -u B
) }  i^i  RR )
21 dfpr2 3435 . . . . . . . . . . 11  |-  { -u A ,  -u B }  =  { z  |  ( z  =  -u A  \/  z  =  -u B
) }
2221ineq1i 3179 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
-u A ,  -u B }  i^i  RR )  =  ( { z  |  ( z  = 
-u A  \/  z  =  -u B ) }  i^i  RR )
2320, 22eqtr4i 2106 . . . . . . . . 9  |-  { z  e.  RR  |  ( z  =  -u A  \/  z  =  -u B
) }  =  ( { -u A ,  -u B }  i^i  RR )
24 renegcl 7488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
25 renegcl 7488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  RR  ->  -u B  e.  RR )
26 prssi 3563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u A  e.  RR  /\  -u B  e.  RR )  ->  { -u A ,  -u B }  C_  RR )
2724, 25, 26syl2an 283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  { -u A ,  -u B }  C_  RR )
28 df-ss 2995 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
-u A ,  -u B }  C_  RR  <->  ( { -u A ,  -u B }  i^i  RR )  =  { -u A ,  -u B } )
2927, 28sylib 120 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( { -u A ,  -u B }  i^i  RR )  =  { -u A ,  -u B }
)
3023, 29syl5eq 2127 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  { z  e.  RR  |  ( z  = 
-u A  \/  z  =  -u B ) }  =  { -u A ,  -u B } )
3119, 30eqtrd 2115 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } }  =  { -u A ,  -u B } )
3231supeq1d 6494 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  =  sup ( { -u A ,  -u B } ,  RR ,  <  )
)
33 maxcl 10297 . . . . . . 7  |-  ( (
-u A  e.  RR  /\  -u B  e.  RR )  ->  sup ( { -u A ,  -u B } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
3424, 25, 33syl2an 283 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  sup ( { -u A ,  -u B } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
3532, 34eqeltrd 2159 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
3635renegcld 7603 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  -> 
-u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
37 simpr 108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  { A ,  B } )  /\  y  =  A )  ->  y  =  A )
3837negeqd 7422 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  { A ,  B } )  /\  y  =  A )  ->  -u y  =  -u A )
39 maxle1 10298 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u A  e.  RR  /\  -u B  e.  RR )  ->  -u A  <_  sup ( { -u A ,  -u B } ,  RR ,  <  ) )
4024, 25, 39syl2an 283 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  -> 
-u A  <_  sup ( { -u A ,  -u B } ,  RR ,  <  ) )
4140ad2antrr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  { A ,  B } )  /\  y  =  A )  ->  -u A  <_  sup ( { -u A ,  -u B } ,  RR ,  <  )
)
4238, 41eqbrtrd 3825 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  { A ,  B } )  /\  y  =  A )  ->  -u y  <_  sup ( { -u A ,  -u B } ,  RR ,  <  )
)
43 simpll 496 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  { A ,  B } )  /\  y  =  A )  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
44 simplll 500 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  { A ,  B } )  /\  y  =  A )  ->  A  e.  RR )
4537, 44eqeltrd 2159 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  { A ,  B } )  /\  y  =  A )  ->  y  e.  RR )
4632negeqd 7422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  -> 
-u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  = 
-u sup ( { -u A ,  -u B } ,  RR ,  <  )
)
4746breq2d 3817 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( y  <  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  <->  y  <  -u sup ( { -u A ,  -u B } ,  RR ,  <  ) ) )
4847notbid 625 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  y  <  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  <->  -.  y  <  -u sup ( {
-u A ,  -u B } ,  RR ,  <  ) ) )
4948adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( -.  y  <  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  <->  -.  y  <  -u sup ( {
-u A ,  -u B } ,  RR ,  <  ) ) )
5034adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  sup ( { -u A ,  -u B } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
5150renegcld 7603 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  -u sup ( {
-u A ,  -u B } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
52 simpr 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
5351, 52lenltd 7346 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( -u sup ( { -u A ,  -u B } ,  RR ,  <  )  <_  y  <->  -.  y  <  -u sup ( { -u A ,  -u B } ,  RR ,  <  ) ) )
54 lenegcon1 7689 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sup ( { -u A ,  -u B } ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( -u
sup ( { -u A ,  -u B } ,  RR ,  <  )  <_  y  <->  -u y  <_  sup ( { -u A ,  -u B } ,  RR ,  <  ) ) )
5534, 54sylan 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( -u sup ( { -u A ,  -u B } ,  RR ,  <  )  <_  y  <->  -u y  <_  sup ( { -u A ,  -u B } ,  RR ,  <  ) ) )
5649, 53, 553bitr2d 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( -.  y  <  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  <->  -u y  <_  sup ( { -u A ,  -u B } ,  RR ,  <  ) ) )
5743, 45, 56syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  { A ,  B } )  /\  y  =  A )  ->  ( -.  y  <  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  <->  -u y  <_  sup ( { -u A ,  -u B } ,  RR ,  <  ) ) )
5842, 57mpbird 165 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  { A ,  B } )  /\  y  =  A )  ->  -.  y  <  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  ) )
59 simpr 108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  { A ,  B } )  /\  y  =  B )  ->  y  =  B )
6059negeqd 7422 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  { A ,  B } )  /\  y  =  B )  ->  -u y  =  -u B )
61 maxle2 10299 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u A  e.  RR  /\  -u B  e.  RR )  ->  -u B  <_  sup ( { -u A ,  -u B } ,  RR ,  <  ) )
6224, 25, 61syl2an 283 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  -> 
-u B  <_  sup ( { -u A ,  -u B } ,  RR ,  <  ) )
6362ad2antrr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  { A ,  B } )  /\  y  =  B )  ->  -u B  <_  sup ( { -u A ,  -u B } ,  RR ,  <  )
)
6460, 63eqbrtrd 3825 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  { A ,  B } )  /\  y  =  B )  ->  -u y  <_  sup ( { -u A ,  -u B } ,  RR ,  <  )
)
65 simpll 496 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  { A ,  B } )  /\  y  =  B )  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
66 simpllr 501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  { A ,  B } )  /\  y  =  B )  ->  B  e.  RR )
6759, 66eqeltrd 2159 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  { A ,  B } )  /\  y  =  B )  ->  y  e.  RR )
6865, 67, 56syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  { A ,  B } )  /\  y  =  B )  ->  ( -.  y  <  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  <->  -u y  <_  sup ( { -u A ,  -u B } ,  RR ,  <  ) ) )
6964, 68mpbird 165 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  { A ,  B } )  /\  y  =  B )  ->  -.  y  <  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  ) )
70 elpri 3439 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { A ,  B }  ->  ( y  =  A  \/  y  =  B ) )
7170adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  { A ,  B }
)  ->  ( y  =  A  \/  y  =  B ) )
7258, 69, 71mpjaodan 745 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  { A ,  B }
)  ->  -.  y  <  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  ) )
7372ralrimiva 2439 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A. y  e.  { A ,  B }  -.  y  <  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  ) )
7424ad3antrrr 476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  /\  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  <  y )  ->  -u A  e.  RR )
7525ad3antlr 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  /\  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  <  y )  ->  -u B  e.  RR )
76 simplr 497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  /\  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  <  y )  ->  y  e.  RR )
7776renegcld 7603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  /\  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  <  y )  ->  -u y  e.  RR )
7834ad2antrr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  /\  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  <  y )  ->  sup ( { -u A ,  -u B } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
79 simpr 108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  /\  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  <  y )  ->  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  < 
y )
8046breq1d 3815 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  <  y  <->  -u sup ( { -u A ,  -u B } ,  RR ,  <  )  <  y ) )
8180ad2antrr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  /\  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  <  y )  ->  ( -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  <  y  <->  -u sup ( { -u A ,  -u B } ,  RR ,  <  )  <  y ) )
8279, 81mpbid 145 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  /\  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  <  y )  ->  -u sup ( {
-u A ,  -u B } ,  RR ,  <  )  <  y )
8378, 76, 82ltnegcon1d 7744 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  /\  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  <  y )  ->  -u y  <  sup ( { -u A ,  -u B } ,  RR ,  <  ) )
84 maxleastlt 10302 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -u A  e.  RR  /\  -u B  e.  RR )  /\  ( -u y  e.  RR  /\  -u y  <  sup ( { -u A ,  -u B } ,  RR ,  <  ) ) )  -> 
( -u y  <  -u A  \/  -u y  <  -u B
) )
8574, 75, 77, 83, 84syl22anc 1171 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  /\  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  <  y )  ->  ( -u y  <  -u A  \/  -u y  <  -u B ) )
86 simplll 500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  /\  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  <  y )  ->  A  e.  RR )
8786, 76ltnegd 7742 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  /\  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  <  y )  ->  ( A  < 
y  <->  -u y  <  -u A
) )
88 simpllr 501 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  /\  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  <  y )  ->  B  e.  RR )
8988, 76ltnegd 7742 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  /\  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  <  y )  ->  ( B  < 
y  <->  -u y  <  -u B
) )
9087, 89orbi12d 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  /\  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  <  y )  ->  ( ( A  <  y  \/  B  <  y )  <->  ( -u y  <  -u A  \/  -u y  <  -u B ) ) )
9185, 90mpbird 165 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  /\  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  <  y )  ->  ( A  < 
y  \/  B  < 
y ) )
92 breq1 3808 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  A  ->  (
z  <  y  <->  A  <  y ) )
93 breq1 3808 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  B  ->  (
z  <  y  <->  B  <  y ) )
9492, 93rexprg 3462 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. z  e. 
{ A ,  B } z  <  y  <->  ( A  <  y  \/  B  <  y ) ) )
9594ad2antrr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  /\  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  <  y )  ->  ( E. z  e.  { A ,  B } z  <  y  <->  ( A  <  y  \/  B  <  y ) ) )
9691, 95mpbird 165 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  /\  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  <  y )  ->  E. z  e.  { A ,  B }
z  <  y )
9796ex 113 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  <  y  ->  E. z  e.  { A ,  B } z  < 
y ) )
9897ralrimiva 2439 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A. y  e.  RR  ( -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  < 
y  ->  E. z  e.  { A ,  B } z  <  y
) )
99 breq2 3809 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  -> 
( y  <  x  <->  y  <  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  ) ) )
10099notbid 625 . . . . . . 7  |-  ( x  =  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  -> 
( -.  y  < 
x  <->  -.  y  <  -u
sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  ) ) )
101100ralbidv 2373 . . . . . 6  |-  ( x  =  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  -> 
( A. y  e. 
{ A ,  B }  -.  y  <  x  <->  A. y  e.  { A ,  B }  -.  y  <  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  ) ) )
102 breq1 3808 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  -> 
( x  <  y  <->  -u
sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  < 
y ) )
103102imbi1d 229 . . . . . . 7  |-  ( x  =  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  -> 
( ( x  < 
y  ->  E. z  e.  { A ,  B } z  <  y
)  <->  ( -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  <  y  ->  E. z  e.  { A ,  B } z  < 
y ) ) )
104103ralbidv 2373 . . . . . 6  |-  ( x  =  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  -> 
( A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  { A ,  B } z  <  y
)  <->  A. y  e.  RR  ( -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  < 
y  ->  E. z  e.  { A ,  B } z  <  y
) ) )
105101, 104anbi12d 457 . . . . 5  |-  ( x  =  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  -> 
( ( A. y  e.  { A ,  B }  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. z  e.  { A ,  B } z  < 
y ) )  <->  ( A. y  e.  { A ,  B }  -.  y  <  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  /\  A. y  e.  RR  ( -u
sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  < 
y  ->  E. z  e.  { A ,  B } z  <  y
) ) ) )
106105rspcev 2710 . . . 4  |-  ( (
-u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  ( A. y  e.  { A ,  B }  -.  y  <  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  /\  A. y  e.  RR  ( -u
sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  )  < 
y  ->  E. z  e.  { A ,  B } z  <  y
) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  { A ,  B }  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  { A ,  B } z  < 
y ) ) )
10736, 73, 98, 106syl12anc 1168 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  { A ,  B }  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  { A ,  B } z  < 
y ) ) )
108 prssi 3563 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  { A ,  B }  C_  RR )
109107, 108infrenegsupex 8815 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  -> inf ( { A ,  B } ,  RR ,  <  )  =  -u sup ( { z  e.  RR  |  -u z  e.  { A ,  B } } ,  RR ,  <  ) )
110109, 46eqtrd 2115 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  -> inf ( { A ,  B } ,  RR ,  <  )  =  -u sup ( { -u A ,  -u B } ,  RR ,  <  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662    = wceq 1285    e. wcel 1434   {cab 2069   A.wral 2353   E.wrex 2354   {crab 2357    i^i cin 2981    C_ wss 2982   {cpr 3417   class class class wbr 3805   supcsup 6489  infcinf 6490   RRcr 7094    < clt 7267    <_ cle 7268   -ucneg 7399
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208  ax-arch 7209  ax-caucvg 7210
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-isom 4961  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-sup 6491  df-inf 6492  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-2 8217  df-3 8218  df-4 8219  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-rp 8868  df-iseq 9574  df-iexp 9625  df-cj 9930  df-re 9931  df-im 9932  df-rsqrt 10085  df-abs 10086
This theorem is referenced by:  min1inf  10314  min2inf  10315  lemininf  10316  ltmininf  10317
  Copyright terms: Public domain W3C validator